Dois fios longos e paralelos estão suspensos por meio de cordas de l = 4,0   c m de comprimento, presas a um eixo comum, como mostra a Figura abaixo. Os fios possuem massa por unidade de comprimento igual a λ = 0,0125   k g / m e conduzem correntes de mesmo módulo, porém de sentidos contrários. Qual é a corrente em cada fio, sabendo que as cordas de sustentação formam um ângulo de θ = 6   ˚ com a vertical?

Passo 1

Para matar esse exercício, imagina que você está vendo a Figura acima de perfil, como na Figura abaixo, de maneira que a corrente no fio da esquerda está entrando no plano da página e a da direita saindo da página.

A corrente da esquerda produz um campo magnético  B → no fio da direita que aponta para baixo. Isso você pode verificar usando a regra da mão direita para corrente. Um campo de mesma intensidade é produzido pela corrente da direita no fio da esquerda e aponta também para baixo. Esses campos têm uma intensidade que é dada por

B = μ 0 I 2 π r   .

Como   B → é perpendicular às correntes em ambos os fios, então a força magnética   F → M que age nos dois fios tem mesma direção, mesma intensidade, porém sentidos diferentes, como está mostrado na Figura. Por isso, os fios nessa situação de afastam um do outro. A intensidade dessa força é

F M = I L B = μ 0 I 2 L 2 π r   ,

em que L é o comprimento dos fios percorridos pelas correntes I e r é a distância entre os dois fios.

Passo 2

Como os fios estão em equilíbrio com as cordas de comprimento l fazendo um ângulo θ com a vertical, vamos escrever as componentes das forças em cada um dos eixos. Fazendo isso, vamos encontrar

x :       T s e n θ = F M   ;

y :     T c o s   θ = P     .

Se a gente divide a primeira equação acima pela segunda, obtemos o seguinte

F M = P tan ⁡ θ = m g tan ⁡ ( θ ) .

Colocando aqui dentro a expressão que encontramos lá no Passo 1, temos

μ 0 I 2 L 2 π r = m g tan ⁡ ( θ ) ⇒ I = 2 π r   m g tan ⁡ θ μ 0 L   .

Bom, nessa fórmula, ainda não conhecemos o valor de r nem de L (não confunda esse comprimento com l , que o comprimento das cordas que estão segurando os fios!!), que são quantidades não fornecidas pelo enunciado. Vamos continuar...

Passo 3

Para completar, vamos deixar a expressão para a corrente I acima em termos apenas das quantidades fornecidas pelo enunciado.

Para isso, o exercício diz que a massa m dos fios percorridos pela corrente I pode ser escrita como

m = λ L   ,

em que λ é conhecido, mas não sabemos o valor de L , mas isso não vai ser um problema, como você vai ver logo logo! :-).

Continuando, da Figura acima, a gente tem também que

s e n θ = r 2 l   ⇒ r = 2 l s e n θ ,  

e aqui l , comprimento das cordas, é conhecido. Colocando isso tudo junto lá na expressão para I , chegamos no seguinte

I = λ l g s e n θ tan ⁡ θ μ 0 / ( 4 π )       ,

que não depende do comprimento L dos fios percorridos pela corrente I . Tranquilo?

Colocando os valores dados no enunciado dentro dessa expressão, com a ajuda da nossa amiga calculadora, você vai encontrar que o valor da corrente é

I ≈ 23,2   A   .

Resposta

I = λ l g s e n θ tan ⁡ θ μ 0 / ( 4 π )   ≈ 23,2   A

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