Uma espira retangular no plano X Z , de autoindutância desprezível, tem lados a e b e resistência R . Um fio retilíneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I t , é colocado ao longo do eixo Z a uma distância x 0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

a Sabendo que o campo produzido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B → = B s ϕ ^ , onde s é a distância de P ao fio e ϕ ^ é o vetor unitário que “circula” em torno do fio, encontre B s .

b Calcule o fluxo magnético através da espira, tomando y ^ como o unitário normal à superfície.

c Supondo que I t = I 0 cos ⁡ ω t , determine a força eletromotriz induzida na espira?

Passo 1

a Sabendo que o campo produzido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B → = B s ϕ ^ , onde s é a distância de P ao fio e ϕ ^ é o vetor unitário que “circula” em torno do fio, encontre B s .

Vamos considerar primeiro, só um pedaço do fio de comprimento L. O campo que esse pedaço de fio produz num ponto P é dado pela lei de Biot-Savart por:

B = μ 0 i ( t ) 4 π L s s 2 + L 2 4  

Como o fio é infinito, isso significa que L ≫ s , então:

B = μ 0 i ( t ) 4 π L s L 2 4  

B = μ 0 i ( t ) 4 π L s L 2  

B = μ 0 i ( t ) 2 π s

Passo 2

b Calcule o fluxo magnético através da espira, tomando y ^ como o unitário normal à superfície.

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Vamos analisar graficamente esse cara:

Daqui podemos tirar que:

d A → = a d x   y ^

x 0 ≤ x ≤ x 0 + b

Nessa região, o campo magnético é dado por: B → s = μ 0 I t 2 π x y ^

Portanto:

ϕ B = ∫ x 0 x 0 + b μ 0 I t a d x 2 π x

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ∫ x 0 x 0 + b d x x

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ln ⁡ x x 0 x 0 + b

Finalmente:

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ln ⁡ x 0 + b x 0

Passo 3

c Supondo que I t = I 0 cos ⁡ ω t , determine a força eletromotriz induzida na espira?

De acordo com a lei de Faraday, a f e m induzida na espira é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

ε = - μ 0 a 2 π ln ⁡ x 0 + b x 0 ∂ I t ∂ t

Onde:

I t = I 0 cos ⁡ ω t

∂ I t ∂ t = - ω I 0 sen ⁡ ω t

Portanto:

ε = μ 0 a ω I 0 2 π sen ⁡ ω t ln ⁡ x 0 + b x 0

Resposta

a

B s = μ 0 I t 2 π s

b

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ln ⁡ x 0 + b x 0

c

ε = μ 0 a ω I 0 2 π sen ⁡ ω t ln ⁡ x 0 + b x 0

Exercícios de Livros Relacionados

Dois fios estão no plano da página e conduzem correntes em sentidos opostos, como mostrado na figura 27-48. Em um ponto na metade da distância entre os fios, o campo magnético é ( a ) zero b para dent
Determine a magnitude da força por unidade de comprimento exercida por um fio sobre o outro.
Dois fios longos, retilíneos e paralelos, separados por 8,6c m , conduzem corrente iguais. Os fios se repelem com uma força de 3,6 n N / m por unidade de comprimento. (a) As correntes são paralelas ou
Como um estudante técnico, você está preparando uma aula de demonstração sobre “suspensão magnética”. Você tem um fio rígido, retilíneo, de 16c m de comprimento, que será suspenso por guias flexíveis,
Três fios longos, retilíneos e paralelos passam pelos vértices de um triângulo equilátero que tem lados iguais a 10 cm, como mostrado na Figura 27-53. Um ponto indica que o sentido da corrente é para