Enunciado

Se X   ~   b ( n , p ) , sabendo-se que E x = 12   e σ 2 = 3 , determinar:

a) n

b) p

c) P X < 12

d) P ( X ≥ 14 )

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Passo 1

a e b)

Temos uma distribuição binomial certo?

O enunciado nos diz que seus parâmetros são n e p onde n é a quantidade de vezes que estamos repetindo o experimento.

Como podemos encontrar os valores e n e p ?

Se você reparar, no enunciado nos dá a informação de que E x = 12   e σ 2 = 3 .

Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?

Na binomial temos a seguinte equação:

E X = n p

V a r X = n p ( 1 - p )

Igualando então teremos:

E X = n p = 12

V a r X = n p 1 - p = 3  

Um sisteminha, certo? Vamos resolver pelo método da substituição:

V a r X = 12 . 1 - p = 3

1 - p = 3 12

1 - p = 1 4

Portanto,

p = 3 4

Assim,

n p = 12

n . 3 4 = 12

n = 16

Beleza?!

Passo 2

c) P ( X < 12 )

Queremos X < 12 ,     ou seja temos que fazer:

P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + … + P ( X = 11 )

Concorda?!

Temos que pela fórmula da binomial

P X = x = n x p x 1 - p n - x

Beleza?!

Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D

Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:

P X < 12 = P X = 1 + … + P X = 11

Então, vamos ter que calcular cada um dos termos do somatório utilizando a fórmula binomial, sacou? E já encontramos os valores de n = 16 e de p = 3 4 = 0,75 , beleza?!

Assim,

P X = 1 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1

E faremos essas mesmas continhas de k = 1 até k = 11 ! Ficaremos com:

P X < 12 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1 + … + 16 11 0,75 11 0,25 5

Podemos reescrever da seguinte maneira para resumir esse trambolhão:

P ( X < 12 ) = ∑ k = 1 11 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k

Fazendo as continhas, temos

P X < 12 = 0,3698

Passo 3

d) P ( X ≥ 14 )

Bom, agora queremos x ≥ 14   ou seja

P X = 14 + P X = 15 + P ( X = 16 )

Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:

P X ≥ 14 = ∑ k = 14 16 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,1971

Passo 4

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 √ 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 5

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16 . Assim o que queremos é:

P ( X 16 ≥ 14 16 )

Note que isso é a mesma coisa que

P ( X ≥ 14 )

Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em

P X ≥ 14 = 0,1971

Passo 6

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Novamente, como n = 16 → Y = X 16

Dessa forma queremos

P ( X 16 ≥ 12 16 )

Que é exatamente igual a

P ( X ≥ 12 )

Como já calculamos P X < 12 a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:

P X ≥ 12 = 1 - P ( X < 12 )

P X ≥ 12 = 1 - 0,3698 = 0,6302

Resposta

a) 16

b) 3 4

c)   0,3698

d)   0,1971

e)   1

f)   0,6302

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