Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,151-21

Se X   ~   b ( n , p ) , sabendo-se que E x = 12   e σ 2 = 3 , determinar:

a) n

b) p

c) P X < 12

d) P ( X 14 )

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

f) P ( Y 14 16 ) , onde Y = X / n

g)   P ( Y 12 16 ) , onde Y = X / n

Passo 1

a e b)

Temos uma distribuição binomial certo?

O enunciado nos diz que seus parâmetros são n e p. Além disso diz que E x = 12   e σ 2 = 3 .

Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?

Na binomial temos a seguinte equação:

E X = n p

V a r X = n p ( 1 - p )

Igualando então teremos:

E X = n p = 12

V a r X = n p 1 - p = 3  

Um sisteminha certo? Vamos resolver pelo método da substituição:

V a r X = 12 . 1 - p = 3 1 - p = 3 12 1 - p = 1 4

p = 3 4

n p = 12 n . 3 4 = 12 n = 16

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

c) P ( X < 12 )

Queremos X < 12   ou seja temos que fazer:

P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + + P ( X = 11 )

Pela fórmula da binomial

P X = x = n x p x 1 - p n - x

Não é isso? Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D

Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:

P X < 12 = P X = 1 + + P X = 11 =

P ( X < 12 ) = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1 + + 16 11 0,75 11 0,25 5 =

P ( X < 12 ) = k = 1 11 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,3698

Passo 3

d) P ( X 14 )

Bom, agora queremos x 14   ou seja

P X = 14 + P X = 15 + P ( X = 16 )

Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:

P X 14 = k = 14 16 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,1971

Passo 4

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 5

f) P ( Y 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16 . Assim o que queremos é:

P ( X 16 14 16 )

Note que isso é a mesma coisa que

P ( X 14 )

Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em

P X 14 = 0,1971

Passo 6

g)   P ( Y 12 16 ) , onde Y = X / n

Novamente, como n = 16 Y = X 16

Dessa forma queremos

P ( X 16 12 16 )

Que é exatamente igual a

P ( X 12 )

Como já calculamos P X < 12 a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:

P X 12 = 1 - P ( X < 12 )

P X 12 = 1 - 0,3698 = 0,6302

Resposta

a) 16

b) 3 4

c)   0,3698

d)   0,1971

e)   1

f)   0,6302

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