Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.1 – P4 – Questão 2

Suponha que a probabilidade de os pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja 1 / 4 . Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas tenham cabelos loiros?

Passo 1

Para você que manja de distribuição binomial, essa questão é mamão com açúcar. Se você não manjar muito, vem aqui que eu te explico!

A distribuição binomial sempre vai aparecer quando você tiver uma situação com vários possíveis eventos (nesse caso são as seis crianças) e em cada um desses eventos você tem uma probabilidade p de sucesso (nesse caso o sucesso seria cabelo loiro) e probabilidade 1 - p de fracasso.

Olhando para uma criança individualmente, temos

p = 1 4             e         1 - p = 3 4

Significa que a probabilidade de uma criança ter cabelos loiros é 1 / 4 e de não ter é 3 / 4 .

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Passo 2

A fórmula geral para a distribuição binomial é

P x = k = n ! k ! n - k !   p k   1 - p n - k

Essa fórmula dá para gente a probabilidade de em n eventos, termos k sucessos e n - k fracassos. Por isso o produto

p k   1 - p n - k

O fator da frente com os fatoriais aparece devido as possíveis ordens que isso pode acontecer. Nesse problema temos p = 1 / 4 , 1 - p = 3 / 4 e n = 6 , portanto,

P x = k = 6 ! k ! 6 - k !   1 4 p 3 4 6 - p

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de que k = 3 crianças tenham cabelo loiro, de modo que

P x = 3 = 6 ! 3 ! 3 ! 1 4 3 3 4 3

Aí é só fazer conta:

P x = 3 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4 6 ⋅ 3 3

P x = 3 = 5 ⋅ 3 3 4 5

Portanto

P x = 3 = 0,1318

Essa é a probabilidade de que metade das crianças (três) tenham cabelo loiro 😊.

Resposta

P x = 3 = 0,1318

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