Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

PUCRIO-P1-2013.2-4

Em um histórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que 5 %   dos alunos faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala onde tem 57 lugares e a turma para fazer a prova é de 61 alunos.

Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos?

Passo 1

Acompanha comigo... a gente tem uma turma com 61 alunos e a gente sabe que a probabilidade de qualquer aluno faltar a prova é de 5 % .

Vamos analisar uma v.a. que represente o número de alunos que vão faltar a prova. Nesse caso, podemos dizer que:

X   ~   B i n o m i a l   61   ; 0,05

Concorda? Probabilidade p de sucesso igual a 5 % e n = 61   alunos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A sala só tem 57   lugares e queremos calcular a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos fazerem a prova.

Pra que não haja lugar, concorda que temos que ter somente 3 ou menos alunos faltoso? Porque se tiver 4   alunos faltando, vamos ter 57 alunos e 57 lugares, então tem que ter menos faltosos, que aí vai ter mais aluno que lugar.

Então chegamos a um consenso de que temos que calcular...

P X ≤ 3 =   ?

Passo 3

A gente sabe que:

P X ≤ 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

E pra cada caso é só substituir na função de distribuição da Binomial que é essa aqui;

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Passo 4

Aplicando...

P X = 0 = 61 0 0,05 0 0,95 61 = 0,0438

P X = 1 = 61 1 0,05 1 . 0,95 60 = 0,1405

P X = 2 = 61 2 0,05 2 . 0,95 59 = 0,2219

P X = 3 = 61 3 0,05 3 . 0,95 58 = 0,2296

Passo 5

Com isso,

P X ≤ 3 = 0,0438 + 0,1405 + 0,2219 + 0,2296

= 0,6358

Resposta

63,58 %

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