Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Distribuição Bernoulli e Binomial

Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado honesto. Se sair face “6" ele ganha um desconto de 30% sobre o total de sua compra. Se sair face “5", o desconto é de 20%. Se sair face “4", o desconto é de 10% e, se sair faces “1", “2" ou “3", o desconto é de 5%. Seja X a variável aleatória definida como o desconto concedido ao cliente na promoção. Pede-se:

  1. a função de probabilidade da variável aleatória X ;
  2. o desconto médio concedido na promoção;
  3. a probabilidade de que num grupo de 5 clientes, pelo menos um obtenha um desconto maior do que 10%.

Passo 1

(a)

Temos:

X :   desconto do cliente

Pra fazer a função de probabilidade de X a gente precisa fazer aquela nossa tabela, com os possíveis valores de X e suas respectivas probabilidades.

A gente sabe de acordo com o enunciado que X pode ser de 30%, 20%, 10% ou 5%.

Sendo que, como só temos 30% de desconto se sair 6 no dado, então:

p X = 30 % = 1 6

Da mesma forma, temos:

p X = 20 % = 1 6

p X = 10 % = 1 6

p X = 5 % = 3 6 = 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Montamos nossa tabela.

Passo 3

(b)

Vamos calcular a esperança da v.a X .

E X = ∑ i = 1 n x i . p x i

E X = 3 6 × 5 % + 1 6 × 10 % + 1 6 × 20 % + 1 6 × 30 %

E X = 12,5 %

Passo 4

(c)

Primeiramente vamos ver qual a probabilidade p de um cliente obter pelo menos um desconto maior que 10%.

p = P X > 10 %

p = P X = 20 % + P ( X = 30 % )

p = 1 6 + 1 6 = 2 6 = 1 3

Passo 5

Se a gente chamar de:

Y :   número de clientes dentre 5 que tiveram desconto maior que 10%

Temos que n = 5 .

E a probabilidade de sucesso é p = 1 3

Podemos dizer então que:

Y   ~   Bin 5 ; 1 3

Passo 6

Se a gente quer a probabilidade de pelo menos 1 dos clientes dentre os 5 conseguir o desconto, vamos ter:

P Y ≥ 1 = 1 - P Y = 0

Pela fórmula da Binomial,

P Y = 0 = 5 0 . 1 3 0 . 2 3 5

= 2 3 5

Então:

P Y ≥ 1 = 1 - 2 3 5

                              ≅ 0,8683

Resposta

b   12,5 %

c   0,8683

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