Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Ver Teoria

Enunciado

Em um determinado jogo, um jogador vendado tem direito a escolher 5 cartas em um baralho contendo 8 cartas douradas e 12 cartas brancas. Cada vez que uma carta é escolhida, verifica-se a sua cor e ela é devolvida ao baralho, que é embaralhado. Cada carta dourada que o jogador tira rende-lhe um prêmio de R$ 100,00.

  1. Quanto se espera que o jogador ganhe, em média, neste jogo? Qual é o desvio padrão do prêmio do jogador?
  2. Qual é a probabilidade de que o jogador ganhe algo?
  3. Qual é a probabilidade condicional de que o jogador ganhe o prêmio máximo, dado que ele ganhará algo?

Passo 1

(a)

Primeiro vamos considerar:

D : q u a n t i d a d e   d e   c a r t a s   d o u r a d a s   e s c o l h i d a s   d e n t r e   a s   5

E:

G : g a n h o   d o   j o g a d o r   n o   f i n a l

Pelo enunciado a gente sabe que pra cada carta dourada escolhida o jogador ganha R $ 100,00 , ou seja:

G = 100 × D

O que a gente quer agora é o valor esperado e o desvio padrão de G .

E G =   ?                   D P G =   ?

Passo 2

Usando as propriedades da esperança, sabemos que:

E G = E 100 × D = 100 × E D

D P G = D P 100 × D = | 100 | × D P ( D )

Então precisamos calcular E D e D P ( D ) .

Passo 3

Sabemos que D é a quantidade de cartas douradas escolhidas dentre as 5 chances que temos, isso nos leva a considerar que D segue uma distribuição Binomial.

Onde:

n = 5

Sucesso nesse caso seria retirar uma carta dourada, como são 8 douradas e 20 cartas no total,

p = 8 20 = 0,4

Então:

D   ~   B i n ( 5 ; 0,4 )

Passo 4

De acordo com o que sabemos de Binomial.

E D = n p

E D = 5 × 0,4 = 2

Para calculr D P ( D ) , precisamos antes da variância.

V a r D = n p 1 - p

V a r D = 5 × 0,4 × 0,6 = 1,2

Agora fazemos:

D P D = V a r ( D )

D P D = 1,2

Passo 5

Agora podemos calcular:

E G = 100 × E D

      = 100 × 2

E G = 200

D P G = 100 × D P D

                    = 100 × 1,2

D P G ≈ 109,54

Passo 6

(b)

A probabilidade do jogador ganha algo é a probabilidade de ser retirada pelo menos uma carta dourada , concorda ?

Vamos calcular então:

P D ≥ 1 =   ?

Lembrando que D   ~   B i n 5 ; 0,4

P D ≥ 1 = 1 - P D = 0

Usando a fórmula de Binomial.

P D = 0 = 5 0 . 0,4 0 . 0,6 5

P D = 0 = 0,07776

Passo 7

Substituindo o valor, encontramos o que queremos:

P D ≥ 1 = 1 - P D = 0

                                = 1 - 0,07776

P D ≥ 1 = 0,92224

Passo 8

(c)

Bom, pro cara ganhar o prêmio máximo, ele precisa que as 5 cartas escolhidas sejam douradas, a probabilidade disso acontecer seria:

P D = 5 =   ?

Mas o exercício quer a prob. disso acontecer sabendo que o cara vai ganhar pelo menos alguma coisa, ou seja, sabendo que D ≥ 1 .

Isso seria a probabilidade condicional.

P D = 5     D ≥ 1 ) =   ?

Dada pela fórmula:

P D = 5     D ≥ 1 ) = P D = 5 ∩ D ≥ 1 P D ≥ 1

Passo 9

A interseção P ( D = 5 ∩ D ≥ 1 ) é exatamente o valor de P ( D = 5 ) , concorda ?

A interseção entre tirar mais de uma dourada e tirar 5 douradas é também tirar 5 douradas. Com isso:

P D = 5 = 5 5 . 0,4 5 . 0,6 0 = 0,01024

O valor de P D ≥ 1 = 0,92224 a gente já calculou.

Substituindo na fórmula da prob. condicional.

P D = 5     D ≥ 1 ) = 0,01024 0,92224 ≈ 0,0111

Resposta

a   109,54

b   0,92224

c   0,0111

Exercícios de Livros Relacionados

Uma vez que nem todos os passageiros de aviões comparecem na hora do embarque, uma companhia aérea vende 125 bilhetes para um vôo que suporta somente 120 passageiros. A probabilidade de que um passage
Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente pela fórmula de b(x; n, p):b(3; 8, 0.6) b(5; 8, 0,6) P(3 d. P(1
O Exercício 29 (Seção 3.3) forneceu a fmp de Y, o número de violações do código de trânsito de um indivíduo selecionado aleatoriamente com seguro de uma certa empresa. Qual é a probabilidade de que en
Vinte por cento de todos os telefones de um determinado tipo são enviados para reparo em garantia. Desses, 60% podem ser reparados, enquanto os outros 40% devem ser substituídos. Se uma empresa compra
Uma ponte cobra um pedágio de US$ 1,00 para carros de passeio e de US$ 2,50 para outros veículos. Suponha que, durante o dia, 60% de todos os veículos sejam carros de passeio. Se 25 veículos cruzarem