Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

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Em um histórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que 3% dos alunos faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala aonde tem 58 lugares e não tem espaço para colocar mais carteiras, e a turma para fazer a prova é de 61 alunos.

Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos?

Passo 1

Imagina que nós analisássemos a presença ou falta de um aluno no dia da prova como um evento de Bernoulli. Vamos considerar que quando o aluno aparece, temos um fracasso, e quando um aluno falta, temos um sucesso.

Então se nós temos 61 alunos que vão passar por essa condição de presença X falta (fracasso X sucesso), nós temos uma repetição de 61 experimentos de Bernoulli, ou seja, uma distribuição Binomial!

Então vamos criar uma v.a. para representar os sucessos dessa Binomial (ou seja, o número de faltantes):

X : n º   d e   f a l t a n t e s

Onde a probabilidade de sucesso é a probabilidade da falta, ou seja p = 0,03 , e temos n = 61 repetições, então:

X ~ B i n o m i a l ( 0,03 ; 61 )

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Passo 2

É pedida a probabilidade de que não haja lugares suficientes para os alunos, e agora?

Nós sabemos que existem 58 cadeiras na sala para 61 alunos, então para faltar cadeira, o número de faltosos tem que ser pelo menos igual ao número de excesso de alunos. Dos 61 alunos, 58 com certeza conseguem sentar, e sobram 3 sem lugar. Então, para não ter lugar suficiente, precisamos ter menos que 3 faltosos! Já que se 3 faltarem, vamos ter exatamente 58 lugares ocupados.

Então a probabilidade que queremos é:

P X < 3 = P X = 0 + P X = 1 + P ( X = 2 )

Lembrando a fórmula da distribuição Binomial:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Aplicando essa fórmula na nossa expressão de probabilidades:

P X < 3 = 61 0 0,03 0 1 - 0,03 61 - 0 + 61 1 0,03 1 1 - 0,03 61 - 1 + 61 2 0,03 2 1 - 0,03 61 - 2

P X < 3 = 0,97 61 + 61 0,03 0,97 60 + 61 ! 2 ! 61 - 2 ! 0,0009 0,97 59 ≅ 0,72

Então a probabilidade de não haver lugar para todos é de 72 % .

Resposta

72 %

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