Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Distribuição Bernoulli e Binomial

Sabe-se que um famoso atleta olímpico de tiro com arco costuma acertar o alvo na mosca em cerca de oito em cada dez vezes sob algumas condições específicas. Em um grande torneio internacional, em que estas mesmas condições acontencem, o atleta precisa acertar pelo menos duas vezes na mosca, em três tentativas, para ir às finais.

  1. Sabendo que a acurácia dos tiros não se altera, proponha um modelo para a variável aleatória que representa o número de acertos na mosca e calcule a probabilidade do atleta ir às finais.
  2. Determine os valores da função de distribuição acumulada da variável aleatória definida no item anterior para valores do argumento pertencente aos intervalos ( - ∞ ,   0 ) , [ 0 ,   1 ) , [ 1 ,   2 ) , 2 ,   3   e [ 3 ,   ∞ ) . Forneça uma representação gráfica desta função.

Passo 1

(a)

Primeiro vamos propor um modelo para a v.a. X .

X : n ú m e r o   d e   a c e r t o s   n a   m o s c a

Considerando como sucesso o atleta acertar na mosca, pelo enunciado a gente sabe que a probabilidade disso acontecer é.

p = 8 10 = 0,8

Lembrando que o atleta só tem as opções: sucesso (acertar) ou fracasso (errar).

Como o cara vai ter 3 tentativas, → n = 3 .

Isso nos leva a uma distribuição Binomial, concorda ?

X   ~   B i n   ( 3 ; 0,8 )

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Passo 2

Agora a gente tem que calcular a probabilidade do cara ir as finais. Isso só acontece se ele acertar pelo menos 2 dentre as 3 tentativas.

P X ≥ 2 =   ?

Pela fórmula da Binomial.

P X ≥ 2 = P X = 2 + P ( X = 3 )

Passo 3

Cálculos:

P X = 2 = 3 2 . 0,8 2 . 0,2 = 0,384

P X = 3 = 3 3 . 0,8 3 . 0,2 0 = 0,512

Logo:

P X ≥ 2 = 0,384 + 0,512

      = 0,896

Passo 4

(b)

Os valores possíves pra X são: 0,1,2 e 3. Concorda ?

Primeiro então vamos determinar com qual probabilidade cada um desses valores possíveis acontecem, usando a fórmula da Binomial.

No item anterior a gente já calculou a prob. de X = 2 e de X = 3 .

Vou usar aquela tabelinha que a gente aprendeu.

Passo 5

Pra terminar a gente tem que definir a nossa FDA. Lembrando que ela vai acumulando os valores anteriores, então, por exemplo:

F x = 0 ,                                                                                                                                                 x < 0 p 0 ,                                                                                                                     0 ≤ x < 1 p 0 + p 1 ,                                                                                           1 ≤ x < 2 p 0 + p 1 + p 2 ,                                                               2 ≤ x < 3 p 0 + p 1 + p 2 + p 3 ,                                                   x ≥ 3

Substituindo com os valores da tabela que a gente fez.

F x = 0 ,                                                     x < 0 0,008 ,                     0 ≤ x < 1 0,104 ,                     1 ≤ x < 2 0,488 ,                     2 ≤ x < 3 1 ,                                                     x ≥ 3

Passo 6

Fazer nosso gráfico da FDA.

Resposta

a   0,896

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