Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

UFRJ-P1-2015.1-2BC

Em um pequeno restaurante gourmet existem 4 mesas para os seus clientes. Com base no que se vem observando, a gerência sabe que, todos os dias, as 4 mesas serão reservadas e que a chance de comparecimento de alguém que tenha reservado uma mesa é sempre igual a uma mesma constante p . O comparecimento de qualquer cliente é independente do comparecimento dos demais. A distribuição acumulada de X , número de clientes com reserva que comparecem, é:

(b)

Qual é o valor de p ?

(c)

Qual a probabilidade de que, durante os 3 dias de um fim de semana de trabalho, em exatamente 2 desses dias todos os clientes que fizeram reservas compareçam?

Passo 1

(b)

O enunciado diz que a probabilidade do cliente comparecer é sempre igual a uma mesma constante p e que o comparecimento de um cliente é independente do comparecimento dos demais. Hummm, esse texto aí te lembra de alguma distribuição? Binomial? Exato! E a gente precisava de uma distribuição né? Pra gente poder ter alguma fórmula pra achar esse maldito p aí.

A função de probabilidade da Binomial é:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

O que a gente precisa agora é aplicar essa fórmula aí pro que a gente já tem e descobrir o p .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por exemplo, a gente sabe que P X = 0 = 0,0016 .

Substituindo:

P X = 0 = 4 0 . p 0 . 1 - p 4

1 - p 4 = 0,0016

1 - p = 0,0016 4

1 - p = 0,2

p = 0,8

Passo 3

Tá, 3 dias de um final de semana, queremos a probabilidade de em exatamente 2 desses dias os 4 clientes que reservarem as mesas realmente apareçam.

Vou nomear uma variável pro que a gente quer:

Y → n º   d e   d i a s ,   n o   f i n a l   d e   s e m a n a ,   e m   q u e   t o d o s   o s   c l i e n t e s   c o m p a r e c e m

A primeira coisa que a gente precisa é a probabilidade de todos os 4 clientes comparecerem, que seria o nosso “sucesso”. E essa probabilidade a gente tem né, que é P X = 4 = 0,4096 .

Então:

p = 0,4096

A gente tem também que o final de semana tem 3 dias:

n = 3

Como a probabilidade de sucesso em cada dia é a mesma e igual a p e também os dias são independentes um dos outros, a gente pode dizer que Y segue uma binomial.

Y   ~   B i n 3 ; 0,4096

Passo 4

A gente quer que em exatamente dois dias isso aconteça.

P Y = 2 =   ?

Só aplicar a fórmula da função de probabilidade da Binomial.

P Y = 2 = 3 2 . 0,4096 2 . 0,5904 1

= 3 × 2 2 × 0,4096 ² × 0,5904 ¹

≅ 0,2972

Resposta

a   E X = 3,2   ; V a r X = 0,64

b   p = 0,8

c ≅ 0,2972

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