Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

P1 – UFRJ 2015.2 – Questão 02

Suspeita-se que o processo de produção de certo tipo de componente esteja desregulado. Para decidir sobre a medida a ser tomada para sanar o problema, o departamento de produção resolveu conduzir um experimento em que 10 componentes serão sorteados ao acaso da linha de produção. Seja X o número de componentes fora das especificações entre eles. Considerando que a proporção de componentes fora das especificações na linha de produção como um todo seja de 30%:

a) Qual o valor mais provável de X e qual sua probabilidade?

b) Admitindo que:

- Se X ≥ 5, será efetuado um gasto total de 1000 reais para aprimorar a qualidade da produção.

- Se 2 ≤ X ≤ 4, esse gasto será de 300 reais.

- Se X ≤ 1, não será efetuado nenhum gasto.

Qual é o valor do gasto médio a ser efetuado?

A função de distribuição acumulada da Binomial(10;0,3) é fornecida, para facilitar os cálculos:

Passo 1

Bom, vamos analisar o enunciado...

Ele fala de uma linha de produção onde serão testados se os componentes estão dentro ou fora das especificiações. Ou seja, sucesso ou fracasso nesse teste. E fazemos isso 10 vezes. Tá com cara de Binomial não tá? Como testaremos em 10 componentes, temos n = 10 . E como a probabilidade dele estar fora das especificações é de 30%, p = 0,3 .

X   ~   B i n o m i a l   ( 10 ; 0,3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Qual o valor mais provável de X e qual sua probabilidade?

Precisamos saber qual é a função de probabilidade da nossa V.A. para descobrirmos qual o seu valor mais provável.

Observando o enunciado, notamos que essa tabelinha é a distribuição acumulada da função.

Sabemos que

P X = x = F x - F x - 1

Ou podemos lembrar que P ( X = x ) será o valor do “salto” naquele número. Como assim?

Ué, olha só na tabela acima:

No intervalo - ∞ , 0 estávamos no 0. Quando passamos para o intervalo [ 0,1 ) aumentamos para 0,028. Ou seja, no ponto 0 demos um “salto” de 0,028. Entendeu?

Vamos lá então:

Assim, podemos afirmar que o valor mais provável será aquele que possui a maior probabilidade, portanto será o X = 3 e sua probabilidade vale p = 0,267 .

Passo 3

b) Admitindo que:

Se X ≥ 5, será efetuado um gasto total de 1000 reais para aprimorar a qualidade da produção.

Se 2 ≤ X ≤ 4, esse gasto será de 300 reais.

Se X ≤ 1, nãoo será efetuado nenhum gasto.

Qual é o valor do gasto médio a ser efetuado?

Reescrevendo de forma “mais organizadinha”:

G X = x ≤ 1 ,     n e n h u m   g a s t o 2 ≤ x ≤ 4 ,     R $ 300,00 x ≥ 5 ,     R $ 1000,00

Portanto

E G = 0 × P X ≤ 1 + 300 × P 2 ≤ X ≤ 4 + 1000 × P X ≥ 5

Temos que

P X ≤ 1 = P X = 0 + P X = 1 = 0,149

P 2 ≤ X ≤ 4 = P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 = 0,7

P X ≥ 5 = P X = 5 + P X = 6 + … + P X = 10 = 0,15

Substituindo

E G = 0 × 0,149 + 300 × 0,7 + 1000 × 0,15

E G = 360,39   r e a i s

Resposta

a) X = 3   e   p = 0,267

b) 360,39 reais.

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