Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Ver Teoria

Enunciado

Suspeita-se que o processo de produção de certo tipo de componente esteja desregulado. Para decidir sobre a medida a ser tomada para sanar o problema, o departamento de produção resolveu conduzir um experimento em que 10 componentes serão sorteados ao acaso da linha de produção. Seja X o número de componentes fora das especificações entre eles. Considerando que a proporção de componentes fora das especificações na linha de produção como um todo seja de 30%:

a) Qual o valor mais provável de X e qual sua probabilidade?

b) Admitindo que:

- Se X ≥ 5, será efetuado um gasto total de 1000 reais para aprimorar a qualidade da produção.

- Se 2 ≤ X ≤ 4, esse gasto será de 300 reais.

- Se X ≤ 1, não será efetuado nenhum gasto.

Qual é o valor do gasto médio a ser efetuado?

A função de distribuição acumulada da Binomial(10;0,3) é fornecida, para facilitar os cálculos:

Passo 1

Bom, vamos analisar o enunciado...

Ele fala de uma linha de produção onde serão testados se os componentes estão dentro ou fora das especificiações. Ou seja, sucesso ou fracasso nesse teste. E fazemos isso 10 vezes. Tá com cara de Binomial não tá? Como testaremos em 10 componentes, temos   n = 10 . E como a probabilidade dele estar fora das especificações é de 30%, p = 0,3 .

X   ~   B i n o m i a l   ( 10 ; 0,3 )

Passo 2

a) Qual o valor mais provável de X e qual sua probabilidade?

Vamos láá! Primeiro queremos encontrar o valor mais provável de X , certo?! Para isso, vamos utilizar

E X = n p

Beleza?! Substituindo os valores, temos

E X = 10 ∙ 0,3

Assim,

E X = 3

Logo, o valor mais provável de X é 3 .

Falta então agora só calcular a probabilidade dele acontecer. Para isso,

P ( X = 3 ) = 10 3 0,3 3 1 - 0,3 10 - 3

Fazendo as continhas, temos que

P X = 3 = 0,267

Show de bola?!

Assim, podemos afirmar que o valor mais provável será aquele que possui a maior probabilidade, portanto será o X = 3 e sua probabilidade vale p = 0,267 .

Passo 3

b) Admitindo que:

Se X ≥ 5, será efetuado um gasto total de 1000 reais para aprimorar a qualidade da produção.

Se 2 ≤ X ≤ 4, esse gasto será de 300 reais.

Se X ≤ 1, nãoo será efetuado nenhum gasto.

Qual é o valor do gasto médio a ser efetuado?

Reescrevendo de forma “mais organizadinha”:

G X = x ≤ 1 ,     n e n h u m   g a s t o 2 ≤ x ≤ 4 ,     R $ 300,00 x ≥ 5 ,     R $ 1000,00

Portanto

E G = 0 × P X ≤ 1 + 300 × P 2 ≤ X ≤ 4 + 1000 × P X ≥ 5

Temos que

P X ≤ 1 = P X = 0 + P X = 1 = 0,149

P 2 ≤ X ≤ 4 = P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 = 0,7

P X ≥ 5 = P X = 5 + P X = 6 + … + P X = 10 = 0,15

Substituindo

E G = 0 × 0,149 + 300 × 0,7 + 1000 × 0,15

E G = 360,39   r e a i s

Resposta

a) X = 3   e   p = 0,267

b) 360,39 reais.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma vez que nem todos os passageiros de aviões comparecem na hora do embarque, uma companhia aérea vende 125 bilhetes para um vôo que suporta somente 120 passageiros. A probabilidade de que um passage
Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente pela fórmula de b(x; n, p):b(3; 8, 0.6) b(5; 8, 0,6) P(3 d. P(1
O Exercício 29 (Seção 3.3) forneceu a fmp de Y, o número de violações do código de trânsito de um indivíduo selecionado aleatoriamente com seguro de uma certa empresa. Qual é a probabilidade de que en
Vinte por cento de todos os telefones de um determinado tipo são enviados para reparo em garantia. Desses, 60% podem ser reparados, enquanto os outros 40% devem ser substituídos. Se uma empresa compra
Uma ponte cobra um pedágio de US$ 1,00 para carros de passeio e de US$ 2,50 para outros veículos. Suponha que, durante o dia, 60% de todos os veículos sejam carros de passeio. Se 25 veículos cruzarem