Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Função de Probabilidade & Função de Distribuição Acumulada

Seja X uma variável aleatória com distribuição Binomial ( n , p ) cuja função de distribuição acumulada [ F x ] é dada por:

F 0 = 1 243     F 1 = 11 243     F 2 = 51 243    

F 3 = 131 243     F 4 = 211 243     F ( 5 ) = 1

Determinar:

  1. O valor da constante p
  2. Coeficiente de variação de X
  3. P X ≥ 1 e P ( 2 ≤ X < 4 )

Passo 1

Letra a)

Sabemos que a função de distribuição acumulada F ( x ) nos dá o valor acumulado das probabilidades até certo ponto. E se quisermos calcular a probabilidade de um evento acontecer a partir de valores da FDA, como faz?

Bom... pensa comigo. Se subtrairmos de uma FDA num ponto x o valor da FDA imediatamente anterior a esse x , vamos ter o valor da probabilidade de x acontecer! Que nem vimos lá na teoria:

P X = x i = F ( x i ) - F ( x i - )

Então vamos calcular a probabilidade de cada um dos x da Binomial da questão acontecer:

P X = 0 = F 0 = 1 243

Não tem nenhum ponto anterior ao zero, por isso não subtraímos nada! Continuando:

P X = 1 = F 1 - F 0 = 11 243 - 1 243 = 10 243

P X = 2 = F 2 - F 1 = 51 243 - 11 243 = 40 243

P X = 3 = F 3 - F 2 = 131 243 - 51 243 = 80 243

P X = 4 = F 4 - F 3 = 211 243 - 131 243 = 80 243

P X = 5 = F 5 - F 4 = 1 - 211 243 = 32 243

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular P ( X = 0 ) usando a fórmula do cálculo de probabilidade da Binomial, deixando em função de n e p , que não conhecemos:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

P X = 0 = n ! 0 ! n - 0 ! × p 0 × ( 1 - p ) n - 0 = ( 1 - p ) n

Vamos igualar issaê ao valor de P ( X = 0 ) que encontramos subtraindo as FDAs no passo anterior:

1 - p n = 1 243

Agora vamos fazer o cálculo da probabilidade pela fórmula da Binomial para P X = 1 :

P X = 1 = n ! 1 ! n - 1 ! × p 1 × ( 1 - p ) n - 1 = n p ( 1 - p ) n - 1

Que pode ser escrito como:

P X = 1 = n p 1 - p n 1 - p

Substituindo o 1 - p n = 1 243 encontrado nisso aí temos:

P X = 1 = n p 243 ( 1 - p )

Agora vamos igualar esse cara com a P ( X = 1 ) que encontramos subtraindo as FDAs no passo anterior:

n p 243 1 - p = 10 243

Simplificando e rearrumando:

n p = 10 1 - p

Socorroooo, essa volta toda pra chegar numa equação com duas incógnitas?!

É frustante ser de exatas às vezes, eu sei... Mas segura firme, estamos quase lá!

Esse n p aí nessa equação te alguma coisa? Pra quem não lembra, a esperança de uma distribuição Binomial é dada por:

E X = n p

Então se a gente conhecer a esperança, conhecemos n p , substituímos ele na nossa equação e conseguimos descobrir p , que, no momento, é o motivo das nossas dores! Vamos calcular essa E X LOGO então. Lembrando da fórmula padrão da esperança:

E X = ∑ x i . p i

E olha as boas notícias! Quando fizemos aquela contalharada toda com as FDAs lá no início, calculamos tudo que vamos usar nesse somatório: todos as p i ! Então é só aplicar e somar os valores, vai ficar assim ó:

E X = 0 × 1 243 + 1 × 10 243 + 2 × 40 243 + 3 × 80 243 + 4 × 80 243 + 5 × 32 243 = 810 243 = 10 3

E isso aí, como comentamos, é igual a:

10 3 = E X = n p

Substituindo isso aí na nossa equação de (não mais) uma incógnita:

n p = 10 1 - p → 10 3 = 10 1 - p → p = 2 3 = 0,6667

Essa sou euzinha agora, espero que vocês também estejam aliviados.

Passo 3

Letra b)

Lembrando a fórmula do coeficiente de variação:

C V X = D P X E X

A esperança de X já conhecemos! E numa distribuição Binomial, nosso desvio padrão é:

D P X = n p ( 1 - p )

Já calculamos o valor de p , agora vamos usar a esperança calculada para descobrir n :

n p = 10 3 → n × 2 3 = 10 3 → n = 5

[OFF]Peraê... Eu podia ter deduzido esse n=5 desde o início, se n na Binomial é o número de repetições e minha FDA tem 5 degraus, quer dizer que o evento se repete 5 vezes!Siiim... São duas formas diferentes de resolver, as duas tão certas. De qualquer forma, a gente teria que calcular a esperança de X, então não íamos nos livrar daquele cálculo todo. E foi uma forma de provar que tudo que fizemos foi consistente, já que os valores bateram![FIM DO OFF]

E agora podemos calcular nosso desvio padrão:

D P X = n p ( 1 - p ) = 5 × 2 3 × 1 - 2 3 = 1,054

Então nosso coeficiente de variação fica:

C V X = D P X E X = 0,3162

Passo 4

Letra c)

Primeiro o item pede P ( X ≥ 1 ) . Como pela FDA podemos deduzir que X vai de 0 a 5:

P X ≥ 1 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P ( X = 5 )

E a gente calculou todas essas probabilidades lá no início! São elas:

P X ≥ 1 = 10 243 + 40 243 + 80 243 + 80 243 + 32 243 = 0,9959

E agora P 2 ≤ X < 4 , que é a mesma coisa que:

P 2 ≤ X < 4 = P X = 2 + P X = 3 = 40 243 + 80 243 = 0,4938

Resposta

Letra a)

p = 0,6667

Letra b)

C V X = 0,3162

Letra c)

P X ≥ 1 = 0,9959

P 2 ≤ X < 4 = 0,4938

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas