Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Ver Teoria

Enunciado

Seja X uma variável aleatória com distribuição Binomial ( n , p ) cuja função de distribuição acumulada [ F x ] é dada por:

F 0 = 1 243     F 1 = 11 243     F 2 = 51 243    

F 3 = 131 243     F 4 = 211 243     F ( 5 ) = 1

Determinar:

  1. O valor da constante p
  2. Coeficiente de variação de X
  3. P X ≥ 1 e P ( 2 ≤ X < 4 )

Passo 1

Letra a)

Sabemos que a função de distribuição acumulada F ( x ) nos dá o valor acumulado das probabilidades até certo ponto. E se quisermos calcular a probabilidade de um evento acontecer a partir de valores da FDA, como faz?

Bom... pensa comigo. Se subtrairmos de uma FDA num ponto x o valor da FDA imediatamente anterior a esse x , vamos ter o valor da probabilidade de x acontecer! Que nem vimos lá na teoria:

P X = x i = F ( x i ) - F ( x i - )

Então vamos calcular a probabilidade de cada um dos x da Binomial da questão acontecer:

P X = 0 = F 0 = 1 243

Não tem nenhum ponto anterior ao zero, por isso não subtraímos nada! Continuando:

P X = 1 = F 1 - F 0 = 11 243 - 1 243 = 10 243

P X = 2 = F 2 - F 1 = 51 243 - 11 243 = 40 243

P X = 3 = F 3 - F 2 = 131 243 - 51 243 = 80 243

P X = 4 = F 4 - F 3 = 211 243 - 131 243 = 80 243

P X = 5 = F 5 - F 4 = 1 - 211 243 = 32 243

Passo 2

Agora vamos calcular P ( X = 0 ) usando a fórmula do cálculo de probabilidade da Binomial, deixando em função de n e p , que não conhecemos:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

P X = 0 = n ! 0 ! n - 0 ! × p 0 × ( 1 - p ) n - 0 = ( 1 - p ) n

Vamos igualar issaê ao valor de P ( X = 0 ) que encontramos subtraindo as FDAs no passo anterior:

1 - p n = 1 243

Agora vamos fazer o cálculo da probabilidade pela fórmula da Binomial para P X = 1 :

P X = 1 = n ! 1 ! n - 1 ! × p 1 × ( 1 - p ) n - 1 = n p ( 1 - p ) n - 1

Que pode ser escrito como:

P X = 1 = n p 1 - p n 1 - p

Substituindo o 1 - p n = 1 243 encontrado nisso aí temos:

P X = 1 = n p 243 ( 1 - p )

Agora vamos igualar esse cara com a P ( X = 1 ) que encontramos subtraindo as FDAs no passo anterior:

n p 243 1 - p = 10 243

Simplificando e rearrumando:

n p = 10 1 - p

Socorroooo, essa volta toda pra chegar numa equação com duas incógnitas?!

É frustante ser de exatas às vezes, eu sei... Mas segura firme, estamos quase lá!

Esse n p aí nessa equação te alguma coisa? Pra quem não lembra, a esperança de uma distribuição Binomial é dada por:

E X = n p

Então se a gente conhecer a esperança, conhecemos n p , substituímos ele na nossa equação e conseguimos descobrir p , que, no momento, é o motivo das nossas dores! Vamos calcular essa E X LOGO então. Lembrando da fórmula padrão da esperança:

E X = ∑ x i . p i

E olha as boas notícias! Quando fizemos aquela contalharada toda com as FDAs lá no início, calculamos tudo que vamos usar nesse somatório: todos as p i ! Então é só aplicar e somar os valores, vai ficar assim ó:

E X = 0 × 1 243 + 1 × 10 243 + 2 × 40 243 + 3 × 80 243 + 4 × 80 243 + 5 × 32 243 = 810 243 = 10 3

E isso aí, como comentamos, é igual a:

10 3 = E X = n p

Substituindo isso aí na nossa equação de (não mais) uma incógnita:

n p = 10 1 - p → 10 3 = 10 1 - p → p = 2 3 = 0,6667

Essa sou euzinha agora, espero que vocês também estejam aliviados.

Passo 3

Letra b)

Lembrando a fórmula do coeficiente de variação:

C V X = D P X E X

A esperança de X já conhecemos! E numa distribuição Binomial, nosso desvio padrão é:

D P X = n p ( 1 - p )

Já calculamos o valor de p , agora vamos usar a esperança calculada para descobrir n :

n p = 10 3 → n × 2 3 = 10 3 → n = 5

[OFF]Peraê... Eu podia ter deduzido esse n=5 desde o início, se n na Binomial é o número de repetições e minha FDA tem 5 degraus, quer dizer que o evento se repete 5 vezes!Siiim... São duas formas diferentes de resolver, as duas tão certas. De qualquer forma, a gente teria que calcular a esperança de X, então não íamos nos livrar daquele cálculo todo. E foi uma forma de provar que tudo que fizemos foi consistente, já que os valores bateram![FIM DO OFF]

E agora podemos calcular nosso desvio padrão:

D P X = n p ( 1 - p ) = 5 × 2 3 × 1 - 2 3 = 1,054

Então nosso coeficiente de variação fica:

C V X = D P X E X = 0,3162

Passo 4

Letra c)

Primeiro o item pede P ( X ≥ 1 ) . Como pela FDA podemos deduzir que X vai de 0 a 5:

P X ≥ 1 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P ( X = 5 )

E a gente calculou todas essas probabilidades lá no início! São elas:

P X ≥ 1 = 10 243 + 40 243 + 80 243 + 80 243 + 32 243 = 0,9959

E agora P 2 ≤ X < 4 , que é a mesma coisa que:

P 2 ≤ X < 4 = P X = 2 + P X = 3 = 40 243 + 80 243 = 0,4938

Resposta

Letra a)

p = 0,6667

Letra b)

C V X = 0,3162

Letra c)

P X ≥ 1 = 0,9959

P 2 ≤ X < 4 = 0,4938

Exercícios de Livros Relacionados

Uma vez que nem todos os passageiros de aviões comparecem na hora do embarque, uma companhia aérea vende 125 bilhetes para um vôo que suporta somente 120 passageiros. A probabilidade de que um passage
Calcule as seguintes probabilidades binomiais diretamente pela fórmula de b(x; n, p):b(3; 8, 0.6) b(5; 8, 0,6) P(3 d. P(1
O Exercício 29 (Seção 3.3) forneceu a fmp de Y, o número de violações do código de trânsito de um indivíduo selecionado aleatoriamente com seguro de uma certa empresa. Qual é a probabilidade de que en
Vinte por cento de todos os telefones de um determinado tipo são enviados para reparo em garantia. Desses, 60% podem ser reparados, enquanto os outros 40% devem ser substituídos. Se uma empresa compra
Uma ponte cobra um pedágio de US$ 1,00 para carros de passeio e de US$ 2,50 para outros veículos. Suponha que, durante o dia, 60% de todos os veículos sejam carros de passeio. Se 25 veículos cruzarem