Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Probabilidade e Estatística – PUC RJ – 2019.2 – P1 – Questão 3

Suponha que um experimento biológico deva ser repetido no mínimo 4 vezes com sucesso para que seja validado. A cada dia, só se pode realizar um experimento, que, em função de variações das condições do meio pode resultar em erro, anulando completamente tal tentativa. A chance de um experimento chegar até o fim sem sucesso é conhecida e igual a 68%. O pesquisador trabalhará todos os dias, inclusive finais de semana e feriados até validar o seu experimento.

a) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance de o experimento ser validado em x dias e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará.

b) Qual a probabilidade de o pesquisador validar o seu experimento em exatos 5 dias?

c) Qual a chance de ele demorar mais que 6 dias para validar o experimento.

Passo 1

Essa é uma questão que você precisa pensar um pouquinho antes de tentar fazer contas...

Olhando para um experimento individualmente, a chance de fracasso é 1 - p = 68 % = 0,68 , de modo que a chance de sucesso é p = 32 % = 0,32 . Para que o experimento seja validado, ele deve ser repetido no mínimo 4 vezes com sucesso.

No item (a) queremos identificar o modelo probabilístico que modela a chance de o experimento ser validado em x dias. Como são necessários no mínimo quatro experimentos, devemos ter

x ≥ 4

Para que o experimento seja validado nos primeiros quatro dias, ele deve resultar em sucesso em todos os dias, de modo que a probabilidade é

x = 4 → p ⋅ p ⋅ p ⋅ p = p 4

E para x = 5 ? Para que o experimento seja validado no quinto dia, nos quatro primeiros dias ele deve ter sido bem sucedido três vezes e ter fracassado uma vez. Isso pode acontecer de quatro formas diferentes:

s u c e s s o ,   s u c e s s o ,   s u c e s s o ,   f r a c a s s o

( s u c e s s o ,   s u c e s s o ,   f r a c a s s o ,   s u c e s s o )

s u c e s s o ,   f r a c a s s o ,   s u c e s s o ,   s u c e s s o

f r a c a s s o ,   s u c e s s o ,   s u c e s s o ,   s u c e s s o

Além disso, no quinto dia devemos ter um sucesso, de modo que a probabilidade de que isso aconteça é dada por

x = 5 → 4 p 3 1 - p ⋅ p

O termo em colchetes representa a probabilidade de haver exatamente 3 sucessos e 1 fracasso nos quatro primeiros dias e o outro termo representa a probabilidade de haver sucesso no quinto dia, completando os quatro sucessos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos considerar um número genérico de dias x . Para que o quarto sucesso seja alcançado no x -ésimo dia, devemos ter tido 3 sucessos nos primeiros x - 1 dias. Para que tenhamos 3 sucessos nos x - 1 primeiros dias, devemos ter x - 1 - 3 = x - 4 fracassos nesses primeiros dias.

Qual é a distribuição de probabilidades para esses primeiros x - 1 dias? Ora, trata-se de uma distribuição binomial com 3 sucessos e x - 4 fracassos, de modo que a probabilidade é dada por

p r o b a b i l i d a d e   d e   3   s u c e s s o s   n o s   x - 1   p r i m e i r o s   d i a s =   x - 1 ! 3 ! x - 4 !   p 3   1 - p x - 4

Só para você lembrar, a probabilidade de haver exatamente k sucessos em n eventos é

P x = k = n ! k ! n - k !   p k   1 - p n - k

Essa é a distribuição binomial. Basta trocar n por x - 1 e k por 3 que obtemos a probabilidade de obtermos exatamente 3 sucessos nos primeiros x - 1 dias.

Para achar a probabilidade de o experimento ser validado no x -ésimo dia, basta multiplicar a probabilidade de haver exatamente 3 sucessos nos x - 1 primeiros dias com a probabilidade de haver sucesso do x -ésimo dia:

P x = x - 1 ! 3 ! x - 4 !   p 3   1 - p x - 4 ⋅ p

Portanto, a probabilidade de validar o experimento no x -ésimo dia é

P x = x - 1 ! 3 ! x - 4 !   p 4   1 - p x - 4

Nesse problema, p = 0,32 , de modo que

P x = x - 1 ! 3 ! x - 4 !   0,32 4   0,68 x - 4

Essa distribuição parece bastante uma distribuição normal, porém com o termo extra relativo ao último dia!

PS: uma dica que eu dou para resolver esse tipo de problema é começar testando situações da forma como eu fiz no passo 1 com x = 4 e x = 5 . Isso pode dar algum insight para você resolver o problema geral.

Passo 3

Agora que temos a distribuição de probabilidades, resolver os demais itens é bem tranquilo...

No item (b) queremos saber a probabilidade de o experimento ser validado em exatamente 5 dias. Esse caso já foi testado no passo 1 e achamos

x = 5 → 4 p 3 1 - p ⋅ p = 4 p 4 1 - p

Vamos usar a expressão geral deduzida no item (a) para ver se obtemos o mesmo resultado:

P x = 5 = 5 - 1 ! 3 ! 5 - 4 !   0,32 4   0,68 5 - 4

P x = 5 = 4 ! 3 ! 0,32 4   0,68 = 4   0,32 4   0,68

Vemos que as expressões são idênticas, o que indica que estamos no caminho certo. Fazendo as contas:

P x = 5 = 0,0285

Passo 4

Para terminar, vamos para o item (c)! Ele que saber qual a probabilidade de demorar mais de seis dias. Para isso, usamos que

P x > 6 = 1 - P x ≤ 6

Além disso,

P x ≤ 6 = P x = 4 + P x = 5 + P x = 6

Já sabemos que P x = 4 = 0,32 4 = 0,0105 e P x = 5 = 0,0285 . Para x = 6 :

P x = 6 = 6 - 1 ! 3 ! 6 - 4 !   0,32 4   0,68 6 - 4 = 5 ! 3 ! 2 ! 0,32 4   0,68 2 = 10   0,32 4   0,68 2

P x = 6 = 0,0485

Portanto,

P x ≤ 6 = 0,0105 + 0,0285 + 0,0485 = 0,0875

Com isso,

P x > 6 = 1 - 0,0875

P x > 6 = 0,9125

Fechamos o problema 😊.

Resposta

P x = x - 1 ! 3 ! x - 4 !   0,32 4   0,68 x - 4

P x = 5 = 0,0285

P x > 6 = 0,9125

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas