Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Distribuição Bernoulli e Binomial

Em um pequeno restaurante gourmet existem 4 mesas para os seus clientes. Com base no que se vem observando, a gerência sabe que, todos os dias, as 4 mesas serão reservadas e que a chance de comparecimento de alguém que tenha reservado uma mesa é sempre igual a uma mesma constante p . O comparecimento de qualquer cliente é independente do comparecimento dos demais. A distribuição acumulada de X , número de clientes com reserva que comparecem, é:

  1. Ache a função de probabilidade de X , E X e V a r X .
  2. Qual é o valor de p ?
  3. Qual a probabilidade de que, durante os 3 dias de um fim de semana de trabalho, em exatamente 2 desses dias todos os clientes que fizeram reservas compareçam?

Passo 1

(a)

Pra montar a função de probabilidade de X a gente vai precisar dos possíveis valores de X e das probabilidades de cada um.

Lembrando que:

X → n º   d e   c l i e n t e s   c o m   r e s e r v a s   q u e   c o m p a r e c e m

Primeiro, quais os possíveis valores que X pode assumir? 0,1 , 2,3 , 4 , certo? Podem comparecer ninguém, um, dois, três ou todos os clientes que reservam as mesas (lembrando que só tem 4 mesas pra reserva).

Agora faltam as probabilidades de X assumir cada um desses valores.

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Passo 2

A tabela que a gente tem nos dá a função acumulada de X .

Uma função acumulada é aquela que em cada valor possível da variável que ela simboliza, acumula o valor da probabilidade da variável assumir aquele valor. Ficou confuso, né? Calma.

É aquele gráfico em degrau lembra? Então tipo, quando chega em 0 , X acumula o valor de P X = 0 que é a prob. de X assumir o resultado 0 (ou seja, de ninguém comparecer).

Com isso, pela tabela a gente já sabe que:

P X = 0 = 0,0016

Aí chega em 1 , e X acumula P X = 1 .

P X = 1 = 0,0272 - 0,0016

P X = 1 = 0,0256

E por aí vai, sempre descontando o que já tinha sido acumulado antes, vamos conseguir todas as probabilidades que precisamos.

P X = 2 = 0,1808 - 0,0272

P X = 2 = 0,1536

P X = 3 = 0,5904 - 0,1808 = 0,4096

P X = 4 = 1 - 0,5904 = 0,4096

Passo 3

Assim a gente tem a função de probabilidade de X .

Todos os possíveis resultados:

0,1 , 2,3 , 4

E suas respectivas probabilidades:

0,0016 ;   0,0256 ;   0,1536 ;   0,4096 ;   0,4096

Passo 4

Agora que a gente tem a função de probabilidade, a gente pode calcular a esperança e a variância.

E X = ∑ x i . p x i

= 0 × 0,0016 + 1 × 0,0256 + 2 × 0,1536 + 3 × 0,4096 + 4 × 0,4096

E X = 3,2

V a r X = ∑ x i 2 . p x i - E X 2

= 0 2 × 0,0016 + 1 2 × 0,0256 + 2 2 × 0,1536 + 3 2 × 0,4096 + 4 2 × 0,4096 - 3,2 2

V a r X = 0,64

Passo 5

(b)

O enunciado diz que a probabilidade do cliente comparecer é sempre igual a uma mesma constante p e que o comparecimento de um cliente é independente do comparecimento dos demais. Hummm, esse texto aí te lembra de alguma distribuição? Binomial? Exato! E a gente precisava de uma distribuição né? Pra gente poder ter alguma fórmula pra achar esse maldito p aí.

A função de probabilidade da Binomial é:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

O que a gente precisa agora é aplicar essa fórmula aí pro que a gente já tem e descobrir o p .

Passo 6

Por exemplo, a gente sabe que P X = 0 = 0,0016 .

Substituindo:

P X = 0 = 4 0 . p 0 . 1 - p 4

1 - p 4 = 0,0016

1 - p = 0,0016 4

1 - p = 0,2

p = 0,8

Passo 7

Tá, 3 dias de um final de semana, queremos a probabilidade de em exatamente 2 desses dias os 4 clientes que reservarem as mesas realmente apareçam.

Vou nomear uma variável pro que a gente quer:

Y → n º   d e   d i a s ,   n o   f i n a l   d e   s e m a n a ,   e m   q u e   t o d o s   o s   c l i e n t e s   c o m p a r e c e m

A primeira coisa que a gente precisa é a probabilidade de todos os 4 clientes comparecerem, que seria o nosso “sucesso”. E essa probabilidade a gente tem né, que é P X = 4 = 0,4096 .

Então:

p = 0,4096

A gente tem também que o final de semana tem 3 dias:

n = 3

Como a probabilidade de sucesso em cada dia é a mesma e igual a p e também os dias são independentes um dos outros, a gente pode dizer que Y segue uma binomial.

Y   ~   B i n 3 ; 0,4096

Passo 8

A gente quer que em exatamente dois dias isso aconteça.

P Y = 2 =   ?

Só aplicar a fórmula da função de probabilidade da Binomial.

P Y = 2 = 3 2 . 0,4096 2 . 0,5904 1

= 3 × 2 2 × 0,4096 ² × 0,5904 ¹

≅ 0,2972

Resposta

a   E X = 3,2   ; V a r X = 0,64

b   p = 0,8

c ≅ 0,2972

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