Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Distribuição Bernoulli e Binomial

Retiram-se 4 cartas, ao acaso e com reposição, de um baralho de 52 cartas. Seja X a variável aleatória definida como o número de reis na amostra.

  1. Obtenha a função de probabilidade de X e faça um gráfico da sua função de distribuição acumulada.
  2. Obtenha a esperança e a variância de X .

Passo 1

(a)

Vamos nomear nossa variável:

X → n º   d e   r e i s ,   d e n t r e   4   c a r t a s   r e t i r a d a s   d o   b a r a l h o

O baralho tem 52 cartas no total, e dessas, 4 são reis.. tá sabendo disso? Beleza.

Então qual a prob. de eu retirar um rei do baralho?

= 4 52 = 1 13

Vou repetir esse experimento de retirar uma carta do baralho 4 vezes, com reposição e em todas as vezes a prob. de sucesso (sair um rei) é a mesma e igual a p = 1 13 .

Isso significa que a nossa variável X segue a distribuição Binomial.

X   ~   B i n o m i a l   4   ; 1 13

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra gente montar a função de probabilidade de X a gente precisa dizer quais os possíveis resultados de X e as suas respectivas probabilidades.

Primeiro então... vou retirar 4 cartas do baralho, quais as possíveis quantidades de reis que eu vou poder ter?

→ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4

Show?

E pra calcular a prob. de cada um a gente pode usar a fórmula da Binomial.

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Passo 3

Aí temos:

P X = 0 = 4 0 . 1 13 0 . 12 13 4

P X = 0 ≅ 0,73

P X = 1 = 4 1 . 1 13 1 . 12 13 3

P X = 1 ≅ 0,24

P X = 2 = 4 2 . 1 13 2 . 12 13 2

P X = 2 ≅ 0,03

P X = 3 = 4 3 . 1 13 3 . 12 13 1

P X = 3 ≅ 0,0017

P X = 4 = 4 4 . 1 13 4 . 12 13 0

P X = 4 ≅ 3,5 × 10 - 5

Tá aí, todos os valores de X e suas probabilidades.

Passo 4

Falta o gráfico da distribuição acumulada...

Como nosso X é uma variável discreta nosso gráfico vai ser aquele que tem forma de degrau. Lembra?

Em cada valor possível de X , que no caso são 0 , 1,2 , 3,4 , você acumula o valor da probabilidade desse possível X .

Fica assim:

Cuidado que ali os valores ficam muito próximos, aí você tem que usar mais casas decimais pra poder diferenciar...

Passo 5

(b)

Como a gente já sabe que:

X   ~   B i n o m i a l   4   ; 1 13

Fica fácil a gente calcular a esperança e a variância, é só usar as fórmulas:

E X = n p

= 4 × 1 13

E X ≅ 0,30

V a r X = n p 1 - p

= 4 × 1 13 × 12 13

V a r X ≅ 0,28

Resposta

b   E X ≅ 0,30     e     V a r X ≅ 0,28

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