Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Dois times de futebol A e B com nível técnico idêntico, ou seja, as chances de vitória de qualquer um deles ou de acontecer um empate entre eles, é a mesma. Estes dois times jogam entre si 6 vezes (jogos). Pela identificação do modelo probabilístico que modela a chance do experimento ser validado em x jogos, encontre a probabilidade do time A de:

  1. Ganhar dois ou três jogos?
  2. Ganhar pelo menos um jogo?

Passo 1

Temos que primeiro entender de que modelo probabilístico ele tá falando. “Um experimento ser validado em x jogos” nada mais é que “um sucesso a cada x repetições”, então estamos numa distribuição Binomial!

X : n º   d e   v i t ó r i a s   d o   t i m e   A

X ~ B i n o m i a l

E quais vão ser os parâmetros dessa distribuição? As repetições são o número de jogos, ou seja, n = 6 . E a probabilidade p   de sucesso?

Concorda comigo que existem três cenários possíveis? “A” ganhar, “A” perder, ou os dois times empatarem. Então essas três probabilidades somadas tem que dar 1. E nós sabemos que elas são todas iguais, já que o enunciado nos dá essa informação. Então...

p + p + p = 1 → 3 p = 1 → p = 1 3

E daí temos nossa distribuição bonitinha com os parâmetros:

X ~ B i n o m i a l 1 3 ; 6

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Passo 2

a)

Queremos a probabilidade de “A” ganhar dois OU três jogos. OU em probabilidade é soma, então:

P X = 2 + P ( X = 3 )

Usando a fórmula da Binomial pra esses cálculos:

P X = 2 + P X = 3 = 6 2 p 2 1 - p 4 + 6 3 p 3 1 - p 3

= 6 ! 2 ! 4 ! 1 3 2 2 3 4 + 6 ! 3 ! 3 ! 1 3 3 + 2 3 3 = 0,3292 + 0,2195

= 0,5487

Passo 3

c)

Ganhar pelo menos um jogo é:

P ( X ≥ 1 )

E isso, usando probabilidade complementar, é a mesma coisa que...

P X ≥ 1 = 1 - P X < 1 = 1 - P ( X = 0 )

Já que o único caso que X < 1 é quando X = 0 , ou seja, “A” não ganha nenhuma das 6 partidas! Calculando isso pela fórmula da Binomial:

1 - P X = 0 = 1 - 6 0 p 0 1 - p 6

= 1 - 6 ! 0 ! 6 ! 1 3 0 2 3 6 = 1 - 0,08779

= 0,9122

Resposta

a)

0,5487

b)

0,9122

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