Exercícios Resolvidos de Distribuição de Bernoulli e Binomial

Uma empresa faz transporte de material por meio de caminhões e o volume de encomendas que ela recebe oscila ao longo do tempo. Admita que, escolhendo ao acaso um dia de trabalho:

• O número de entregas a serem feitas segue uma distribuição de Poisson com média de 5 entregas/dia;

• A empresa pode contratar, por empreitada, trabalhadores autônomos que constam de uma lista de 6 nomes. Todos eles tem a mesma chance p de virem a ser contratados para servir à empresa naquele dia, e há independência entre as decisões de se contratar ou não relativas aos diversos trabalhadores da lista;

• O número de caminhões usados para realizar os serviços naquele dia pode ser igual a: 1 (com probabilidade 0,15), 2 (com probabilidade 0,60), ou 3 (com probabilidade 0,25).

Pergunta-se:

(b) Quais são os valores possíveis de p , se a probabilidade de serem recrutados exatamente 3 empregados da lista de 6 é igual a 0,27648?

Passo 1

b)

Vamos criar uma v.a. que represente o número de trabalhadores contratados no dia:

T : t r a b a l h a d o r e s   c o n t r a t a d o s   n o   d i a

Mas qual a distribuição dessa v.a.?

Se nós analisarmos uma contratação como um sucesso, e sabemos que p é a probabilidade de um trabalhador ser contratado, teríamos que p é a probabilidade de sucesso. Então na hora de contratar um trabalhador, temos a possibilidade de ter um sucesso (contratação do trabalhador) ou fracasso (nāo contratação do trabalhador), o que é um experimento de Bernoulli.

Mas na realidade não temos só um trabalhador para contratar ou não, e sim 6, pois é o número de nomes na lista. Então vamos repetir 6 vezes o experimento de Bernoulli que descrevemos acima, e como os sucessos ou fracassos dessas repetições são independentemente, podemos dizer que a contratação dos trabalhores dessa lista vai seguir uma distribuição Binomial!

Então nossa v.a. T vai seguir:

T   ∼   B i n o m i a l ( n   =   6 ;   p )

Onde n   =   6 é o nosso número de repetições, ou seja, o número de nomes da lista, e p é a probabilidade de sucesso, ou seja, de contratar um trabalhador.

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Passo 2

Foi dito no enunciado que a probabilidade de serem recrutados 3 empregados da lista é igual a 0,27648. Então:

P T = 3 = 0,27648

Beleza! Agora vamos lembrar da fórmula da Binomial:

P X = k = n k p k ( 1 - p ) 3

Então, lembrando que n   =   6 , no caso de 3 empregados recrutados, a função de probabilidade fica:

P T = 3 = 6 3 p 3 ( 1 - p ) 3

Vamos igualar essa função aí ao valor da probabilidade de P T = 3 dada pela questão! Assim ó:

6 3 p 3 ( 1 - p ) 3 = 0,27648

Desenvolvendo isso aí:

20 p 3 ( 1 - p ) 3 = 0,27648

p 1 - p = 0,27648 20 3

p - p 2 = 0,24

Rearrumando isso aí no formato clássico de uma equação de segundo grau:

p 2 - p + 0,24 = 0

Resolvendo isso aí por Bhaskara, descobrimos que p pode valer:

p = 0,6   o u   p = 0,4

Ambos valores são válidos para valores de probabilidades, então incluímos os dois na resposta.

Resposta

p = 0,6   o u   p = 0,4

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