Exercícios Resolvidos de Efeito Doppler – Frequência e Comprimento de Onda

Considere duas galáxias que se movem ao longo de uma mesma reta. Para que a frequência f da onda eletromagnética emitida por uma das galáxias seja observada pela outra com valor f ' = f 2 , as galáxias devem estar:

a) Aproximando-se com velocidade relativa 3 c 5 .

b) Afastando-se com velocidade relativa c 2 .

c) Aproximando-se com velocidade relativa c 2 .

d) Afastando-se com velocidade relativa 3 c 5 .

e) Afastando-se com velocidade relativa c 4 .

f) Aproximando-se com velocidade relativa c 4 .

Passo 1

Da teoria, lembramos que há dois tipos de equações para o efeito Doppler relativístico: uma para o afastamento entre a fonte o observador, e outra para a aproximação entre a fonte e o observador. Mas qual devemos usar?

Para responder a essa pergunta devemos analisar a frequência que uma galáxia observa a outra. De acordo com o enunciado, uma galáxia observa a outra com metade da frequência emitida por ela. Então neste caso elas estão se afastando. Ou seja, é como se uma estivesse vendo a onda emitida pela outra com uma forma “esticada”. Imaginando uma onda como se fosse uma sanfona, é como se essa sanfona estivesse sendo esticada.

Neste caso, usaremos a equação para o afastamento, que é:

f ' = f 1 - v c 1 + v c = f 1 - β 1 + β

Onde f é a frequência percebida por uma das galáxias, que vale f ' = f 2 e β = v / c

f é a frequência emitida por uma das galáxias.

v é a velocidade relativa entre as galáxias.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é colocar os dados na equação e fazer as contas!

f 2 = f 1 - β 1 + β

1 2 = 1 - β 1 + β

Elevando os dois lados ao quadrado

1 4 = 1 - β 1 + β

Agora basta multiplicar cruzado

1 + β = 4 - 4 β → 5 β = 3

β = 3 5

como β = v / c

v = 3 5 c

Resposta

Letra (d) Afastando-se com velocidade relativa 3 c 5 .

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