Exercícios Resolvidos de Efeito Doppler – Frequência e Comprimento de Onda

USP, Física 4, PSub - 2016, Questão Q2

Uma espaçonave que viaja se afastando com velocidade c i ^ / 2 em relação à Terra passa pela origem do referencial da Terra em t = 0   s . Neste mesmo instante, a espaçonave dispara um míssil, de comprimento próprio l 0 , com velocidade c i ^ / 2   em relação à espaçonave.

  1. Calcule a velocidade do míssel em relação à Terra.
  2. Calcule o comprimento do míssel depois do disparo no referencial da espaçonave.
  3. Em um determinado instante o míssel emite um sinal luminoso de frequência f . Qual é a frequência deste sinal recebido na Terra?

Passo 1

Letra a)

Temos uma nave se movendo em relação à Terra e um míssel se movendo em relação à nave.

Para achar então a velocidade do míssel em relação à Terra precisamos usar as transformações de Lorentz da Velocidade. Neste caso, temos que a Terra é um dado referencial S e a nave um referencial S ' que vê a Terra se mover com velocidade u = c / 2 , mas no sentido negativo do eixo x , - i ^ .

Como a nave e o míssel se movem apenas ao longo do eixo x , teremos:

v x = v x ' + u 1 + u   v x ' c 2

Sendo que pelo enunciado, v x ' = c / 2   é o módulo da velocidade do míssel no referencial S ' .

Assim:

v x = c 2 + c 2 1 + c 2 c 2 c 2 = c 1 + 1 4 = 4 5 c

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

O míssel vê seu próprio comprimento como sendo o comprimento próprio (ele se vê parado, com o resto se movendo).

Assim, temos para o comprimento medido pela nave um efeito de contração do comprimento.

l = l 0 γ

Onde

γ = 1 1 - v x ' 2 c 2

γ = 1 1 - c 2 4 c 2 = 1 1 - 1 4 = 2 3

Logo, temos:

l = l 0 2 / 3 = 3 2 l 0

Passo 3

Letra c)

Temos agora um problema de efeito doppler.

O míssel se afasta da terra (na mesma direção que a nave se afasta, ao longo do sentido positivo do eixo x ), e por isso teremos:

f T e r r a = f 1 - β 1 + β

Nessa equação

β = v x c = 4 5

Substituindo:

f T e r r a = f 1 - 4 5 1 + 4 5 = f 1 / 5 9 / 5 = f 3

Resposta

Letra a

v x = 4 5 c

Letra b

l = 3 2 l 0

Letra c

f T e r r a = f 3

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