Exercícios Resolvidos de Efeito Doppler – Frequência e Comprimento de Onda

Física 4 – PUC RJ – 2019.2 – P2 – Questão 2

Em uma determinada região na Terra, um tremor é sentido na cidade B após 5,0   m s de uma explosão haver acontecido na cidade A, a uma distância de 1800   k m . Um viajante M em uma nave espacial relativística, movendo-se paralelamente à linha que une A e B (ver figura), tem velocidade v M = 0,90   c em relação à Terra.

a) É possível que o tremor seja consequência da explosão? Justifique.

b) Qual é o intervalo de tempo entre a explosão e o tremor, medido pelo viajante M? Qual evento (tremor ou explosão) acontece primeiro para o viajante?

c) Se o viajante sobrevoa a cidade A no exato instante que a explosão ocorre, quanto tempo ele leva para estar justo acima da cidade B, segundo seu próprio relógio?

d) Se em um momento posterior uma segunda explosão acontece em A, e intensos raios ultravioletas de comprimento de onda 100   n m são emitidos, em qual comprimento de onda o viajante M detecta tais raios?

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

Nesse problema vamos brincar bastante com relatividade restrita, se você tem dúvida em coisas como dilatação do tempo, contração do espaço ou transformações de Lorentz, vai dar uma olhadinha nos resumos do RespondeAí e depois volta aqui...

O item (a) não envolve coisas muito complicadas não. O tremor é sentido em B 5,0   m s depois de a explosão ter acontecido em A. Vamos calcular a velocidade que um sinal deve ter para ir de A até B nesse intervalo de tempo:

v = D Δ t = 1800   k m 5,0   m s = 1,8 ⋅ 10 6   m 5,0 ⋅ 10 - 3   s = 3,6 ⋅ 10 8   m / s

Essa velocidade é maior que c = 3 ⋅ 10 8   m / s . Sabemos que nada pode se propagar mais rápido que c , portanto é impossível que a explosão em A tenha causado o tremor em B, pois ele só seria sentido em B depois de um tempo maior...

Com isso, a resposta do item (a) é: não é possível que o tremor seja consequência da explosão!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b) nós queremos saber o intervalo de tempo entre a explosão em A e o tremor em B medido pelo viajante M. Para resolver esse problema, vamos estabelecer que o referencial da Terra é S e do viajante, que se move com velocidade v = 0,9   c , é S ' . Se x é a posição de um evento na Terra no tempo t , o tempo no referencial S ' do viajante é dado por

t ' = γ t - v x c 2

Sabemos que a explosão ocorre primeiro no referencial S (da Terra) e vamos tomar t A = 0 . Já o tremor em B ocorre 5   m s depois, de modo que

t B = 5   m s

Vamos calcular o instante da explosão no referencial do viajante:

t A ' = γ t A - v x A c 2

Já para o tremor:

t B ' = γ t B - v x B c 2

Tomando a diferença entre eles:

Δ t ' = t B ' - t A ' = γ t B - t A - v c 2 x B - x A

Se Δ t ' > 0 , temos que t B ' > t A ' , de modo que primeiro vem a explosão e depois o tremor. Caso contrário, invertemos a ordem dos acontecimentos.

No referencial da Terra ( S ), temos que

Δ t = t B - t A = 5   m s

D = x B - x A = 1800   k m

Podemos escrever então

Δ t ' = γ Δ t - v c 2 D

Repare que nesse problema nós não podíamos usar a contração do espaço ou a dilatação do tempo, pois os eventos ocorrem em locais diferentes no referencial de repouso. Esse é um erro bem comum que as pessoas cometem!

Para descobrir o que o viajante viu primeiro, vamos fazer as contas. Primeiro para o fator γ :

γ = 1 1 - v c 2 = 1 1 - 0,9 2 = 1 1 - 0,81 = 10 19

Como v c = 0,9 , temos que

Δ t ' = 10 19 5 ⋅ 10 - 3 - 0,9 ⋅ 1,8 ⋅ 10 6 3 ⋅ 10 8 = 10 19 5 - 5,4 ⋅ 10 - 3

Fazendo as continhas,

Δ t ' ≈ - 9,2 ⋅ 10 - 4   s

Como o intervalo de tempo deu negativo, t B ' < t A ' , de modo que no referencial do viajante, o tremor aconteceu primeiro.

Passo 3

Bom, no item (b) não podíamos usar a dilatação do tempo, porém agora no item (c) vamos poder usar!

Basicamente, o enunciado quer saber quanto tempo demora para o viajante é do ponto A até o ponto sendo que ele viaja com uma velocidade v = 0,9   c .

Se ele quisesse saber esse intervalo de tempo no referencial da Terra seria a coisa mais fácil do mundo. Porém, ele quer saber isso no referencial do viajante.

Primeiro vamos calcular esse tempo no referencial da Terra:

Δ t = D v = 1,8 ⋅ 10 6   m 0,9 ⋅ 3 ⋅ 10 8   m / s

Portanto,

Δ t = 2 3 ⋅ 10 - 2   s

Esse é o tempo que demora para o viajante ir de A para B medido por algum observador parado na Terra. Para achar o intervalo de tempo medido pelo viajante vamos usar a dilatação do tempo!

Sabemos que

Δ t d i l a t a d o = γ   Δ t p r o p r i o

Mas nesse problema, quem é o tempo próprio?

Para responder essa pergunta vamos entender certinho o que ta rolando em cada referencial! No referencial da Terra estamos observando uma nave voando entre duas cidades. Já no referencial da nave, a nave está parada.

Bom, o tempo próprio é o tempo no referencial em que o sistema de interesse está parado. Nesse caso, esse referencial é o da nave. Portanto, o tempo próprio é o intervalo de tempo medido pelo viajante dentro da nave!

Assim,

Δ t v i a j a n t e = Δ t γ = 19 10 ⋅ 2 3 ⋅ 10 - 2 → Δ t v i a j a n t e ≈ 2,9 ⋅ 10 - 3   s

Esse intervalo de tempo é menor que o intervalo de tempo medido na Terra.

Uma dica para achar o referencial do tempo próprio: procure sempre o referencial em quem a posição do corpo que faz a medição não muda. No caso, o corpo que faz a medição é o viajante. No referencial da Terra a posição do viajante claramente muda, porém no referencial da nave ela não muda!

Passo 4

Vamos finalizar o problema com o item (d)! Nesse item vamos usar o efeito Doppler relativístico!

A expressão para o efeito Doppler relativístico é

f ' = f   1 ± β 1 ∓ β

No referencial da Terra, a frequência é f = c / λ . Já no referencial da nave, ela é f ' = c / λ ' . Com isso, temos

c λ ' = c λ 1 ± β 1 ∓ β

Como a nave se afasta da fonte, a frequência f ' deve ser menor que f . Isso significa que devemos escolher os sinais inferiores na expressão do efeito Doppler:

1 λ ' = 1 λ 1 - β 1 + β → λ ' = λ 1 + β 1 - β

Usando que β = v / c = 0,9 , temos que

λ ' = λ 1,9 0,1 = λ 19

Como λ = 100   n m , temos que

λ ' = 436   n m

Como a frequência detectada pela nave é menor, o comprimento de onda é maior!

Aqui acaba o problema 😊!

Resposta

Não é possível que o tremor seja consequência da explosão.

No referencial do viajante o tremor aconteceu primeiro e Δ t ' ≈ 9,2 ⋅ 10 - 4   s .

Δ t v i a j a n t e ≈ 2,9 ⋅ 10 - 3   s

λ ' = 436   n m

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