Exercícios Resolvidos de Efeito Doppler – Frequência e Comprimento de Onda

Origem do Exercício

Para um dado referencial inercial, duas fontes idênticas de luz monocromática (frequência própria f ) possuem velocidades v i ^ e - v i ^ e se afastam uma da outra.

Qual a frequência da luz emitida por uma das fontes quando observada pela outra?

  1. f 1 + v / c 1 - v / c
  2. f 1 - 2 v / c 1 + 2 v / c
  3. f 1 + 2 v / c 1 - 2 v / c
  4. f 1 - 2 v / c 1 + 2 v / c
  5. f 1 - v / c 1 + v / c

Passo 1

Quando a fonte do sinal luminoso e o detector se afastam nós temos que o efeito doppler é dado por:

f d e t e c t o r = f 1 - β 1 + β

Onde β = v x ' / c , sendo v x ' a velocidade com que a fonte se afasta no referencial do detector.

Para acharmos essa velocidade, temos que usar as transformações de Lorentz da velocidade para relacionar v x ' com v x , a velocidade da fonte para o nosso referencial inercial (o original).

v x ' = v x - u 1 - u ⋅ v x / c 2

Onde u é a velocidade do detector nesse referencial.

Pelo enunciado, temos:

v x = v

u = - v

Onde quem é v e quem é - v foi arbitrário (não vai fazer diferença, pois nós queremos o módulo da razão v x ' / c , visto que seu sentido –e logo, o seu sinal – já foi incorporado na fórmula do efeito doppler).

Assim, temos:

v x ' = 2 v 1 + v 2 / c 2

v x ' = 2 v c 2 c 2 + v 2

β = v x ' c = 2 v c c 2 + v 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos substituir nosso resultado na equação do efeito doppler.

f d e t e c t o r = f 1 - β 1 + β = f 1 - 2 v c c 2 + v 2 1 + 2 v c c 2 + v 2 = f c 2 + v 2 - 2 v c c 2 + v 2 + 2 v c

f d e t e c t o r = f c - v 2 c + v 2 = f ⋅ c - v c + v

Dividindo o numerador e o denominador por c , temos:

f d e t e c t o r = f ⋅ 1 - v / c 1 + v / c

Que é a letra e).

Resposta

Letra e)

f d e t e c t o r = f ⋅ 1 - v / c 1 + v / c

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