Um bloco é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v 0 , atinge uma altura máxima H e retorna ao ponto do lançamento, percorrendo uma distância total de 2 H .

a) Desprezando qualquer interação dissipativa entre o ar e o bloco, calcule H em termos de v 0 e a aceleração da gravidade g ;

b) Esboce um gráfico da energia potencial gravitacional e da energia cinética como função da distância percorrida entre 0 e 2 H ;

c) Repita o item anterior de forma qualitativa, considerando agora que há uma interação dissipativa entre o ar e o bloco (nesse caso a altura máxima alcançada é menor que H ). Inclua também no seu gráfico a energia térmica e energia de fonte do sistema Terra + bloco + ar.

Passo 1

Esse é o típico problema que devemos aplicar as ideias de galileu e newton. Já com relação ao primeiro item, temos a aplicação da equação que relaciona a posição em relação ao tempo

x t = x 0 + v 0 t + a t 2 2

Só que vamos reescrevê-la na direção que realmente iremos usa-la, ou seja, tomando o nosso plano como sendo o x y , x na horizontal e y na vertical, teremos que

y t = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Passo 2

(a) Nosso primeiro item sugere que um bloco que sobe até a altura H e depois cai até atingir o chão, de onde partiu inicialmente.

Vamos tomar que nossas condições iniciais são y 0 = 0 e y t t o p o = H , assim teremos que

H = v 0 t - g t 2 2

Entretanto vamos supor agora que o bloco subiu até o topo, parou em v = 0 e vai iniciar sua queda, desta forma temos

0 = H - g t 2 2

Implicando que o tempo de subiu ou descida será de

t = 2 H / g

desta forma teremos que pela primeira equação que encontramos que

H = v 0 t - g t 2 2 → H = v 0 2 H g - g 2 2 H g

Melhorando um pouco a cara desse bixo aí em cima, teremos

H = v 0 2 H / g - H

2 H = v 0 2 H / g

E agora mexe aqui .. mexe alí hahaha ... vamos ajeitamos pouco a pouco para chegar em nosso objetivo

4 H 2 = v 0 2 2 H g

Dividimos ambos os lados por H / 4

H = v 0 2 2 g

E chegamos em nosso resultado. Mas será que não tem uma forma mais fácil e rápida de chegarmos em nosso resultado? Talvez usando um carinha chamado Torricelli?

Na qual

v f 2 = v 0 2 - 2 g H

Talvez de o resultado que queremos...

Tome que quando o bloco chega ao topo, sua velocidade é nula. Então teremos que

H = v 0 2 2 g

Que é o mesmo resultado que chegamos pela relação da equação de posição de função do tempo pra subida e descida.

Passo 3

(b) A energia potencial pode ser descrita por

U = m g h

Enquanto a energia cinética

K = m v 2 2

Plotando nosso gráfico da energia potencial pela distância percorrida pelo bloco, teremos que

E com relação a energia cinética precisamos determinar a relação da velocidade com a posição. Assim tome do passo 1 que quando o bloco está caindo

y t = H - g t 2 2

Implicando que

t = 2 H - y t g

E que

v t = d d t y t = - g t = 2 H - 2 y ( t )

Desta forma teremos que

K = m v 2 2 = 2 m H 2 + 2 m y t 2 - 4 m H y ( t )

Assim teremos o temos quadrático indica que teremos uma parábola de concavidade para cima. As raízes serão dadas em

2 m H 2 + 2 m y t 2 - 4 m H y t = 0

Que pode ser resumida em

y 2 - 2 H y + H 2 = 0

y = 2 H ± 4 H 2 - 4 H 2 2 = H

Então o que temos que em seu ponto mais alto, a energia cinética é nula (já esperávamos por isso né).

Passo 4

(c) Para a energia potencial, perceba que não teremos uma alteração na cara que o gráfico terá.

A diferença com relação a primeira hipótese é que agora o bloco não chega a uma altura H , mas sim a uma altura d < H , tendo sua energia potencial máxima em U = m g d .

Com relação a energia cinética, temos que ela até pode ser a mesma no inicio, mas com a resistência do ar, ela se perde por causa da resistência. Resistência essa que leva o nosso bloco a esquentar em certos momentos. Assim temos que a energia térmica se relaciona com a velocidade do bloco.

Resposta

  1. t = 3 / 5 s
  2. x t = 7 + 2 t - 5 t 2 , v t = 2 - 10 t e a t = - 10
  3. x t = 3 - 5 t 2 , v t = - 10 t e a t = - 10

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