Um bloco de massa M = 250   g é deixado cair sobre uma mola vertical, inicialmente relaxada, de constante elástica k   =   2,5   N / c m . O bloco passa a ficar preso à mola, comprimindo-a 12   c m até para momentaneamente. Nesta compressão: a ) qual é o trabalho realizado pela força gravitacional que age sobre ele? b ) qual é o trabalho realizado pela força da mola?; c ) qual é a velocidade do bloco imediatamente antes dele atingir a mola?; d ) se a velocidade no momento do impacto com a mola for duplicada, qual será a compressão máxima desta?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos um bloquinho de massa M   =   250   g   =   250   × 1 0 - 3   k g que está caindo sobre uma mola que tem constante elástica dada por k   =   2,5   N / c m   =   2,5   × 1 0 2   N / m , que nem este esqueminha aqui

Após cair sobre a mola, o bloco pressiona a mola até parar, após uma compressão de x   =   12   c m   =   12 × 1 0 - 2 m . Primeiro, é pedido para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional na alternativa a ) e na alternativa b ) o trabalho realizado pela mola. Para isso podemos lembrar que para forças conservativas, temos que

W c o n s e r v a t i v a = - Δ U

em que U é a energia potencial relaciona a esta força! Você lembra quais são para a força gravitacional e força elástica?

Para a alternativa c ) iremos calcular a velocidade com que o bloco atinge a mola. Nós não temos nenhuma informação sobre o tempo de queda, ou o caminho percorrido antes de atingir a mola, então a nossa melhor opção é utilizar o teorema da energia cinética que diz

Δ K = W T

em que o W T é o trabalho total realizado sobre o bloco, o que já calculamos nas alternativas anteriores! Da mesma maneira iremos trabalhar a alternativa d ) , já que é uma análise análoga, mas com o dobro da velocidade! Então! Vamos lá!

Passo 2

Para começar temos que calcular o trabalho da força gravitacional, para isso, vamos utilizar que

W g = - Δ U g

mas, se lembrarmos que U = M g h , para a força gravitacional, e escolhermos que quando o bloco toca na mola, temos que h = 0 e, portanto, U 0 = 0 . Temos que

W g = - ( U F - U 0 ) = - U F

No referencial que o topo da mola está em h = 0 , temos que após comprimirmos a mola em x = 12 × 1 0 - 2 m , a partícula estará na altura h = - 12   × 1 0 - 2 m . E, portanto, o trabalho realizado será

W g = - ( 250   × 1 0 - 3 ) ( 10 ) ( - 12 × 1 0 - 2 ) = 0,30   J

A primeira alternativa já foi! Bora para a próxima!

Passo 3

Vamos fazer algo parecido para calcularmos o trabalho realizado pela força elástica, temos que

W e l = - Δ U e l

A energia potencial elástica é dada por

U e l = 1 2 k x 2

Quando não há compressão U = 0 , portanto, U 0 = 0 , o trabalho é então calculado como

W e l = - ( U F - U 0 ) = - U F

Utilizando que a compressão é de x = 12 × 1 0 - 2 m e que k = 2,5 × 1 0 2   N / m , obtemos

W e l = - 1 2 ( 2,5   × 1 0 2 ) ( 12 × 1 0 - 2 ) 2 = - 1,8   J

Vamos agora para a alternativa c ) . Nós vamos precisar de algumas informações obtidas aqui, consegue se lembrar por quê? Vem comigo!

Passo 4

Nós temos que quando não há a presença de forças dissipativas, podemos dizer que o trabalho total realizado pelo sistema é igual a variação da energia cinética, ou seja

Δ K   =   W T

O trabalho realizado até que o bloco pare depois de comprimir a mola é

W T = W g + W e l

Como o corpo para ao final da compressão, temos que

Δ K = K f - K 0 = - K 0

já que K f = 0 . Utilizando a definição de energia cinética, temos então que

- 1 2 M v 0 2 = W g + W e l

Isolando a velocidade, temos então que

v 0 2 = - 2 M ( W g + W e l )

Usando os valores dados no enunciado, e o que calculamos nas alternativas anteriores, temos que

v 0 2 = - 2 ( 250   × 1 0 - 3 ) ( 0,3 + ( - 1,8   ) ) = 12   m 2 / s 2

De forma que temos que a velocidade inicial é

v 0 = 3,5   m / s

Quase acabando! Vamo que vamo!

Passo 5

Agora, ele nos pergunta o que aconteceria com a compressão da mola se a velocidade fosse duplicada, ou seja, se tivermos que v 0 = 7,0   m / s . A relação que obtivemos anteriormente para v 0 2 ainda é válida, ou seja, ainda temos que

v 0 2 = - 2 M ( W g + W e l )

Mas agora, W g e W e l serão diferentes, já que agora o deslocamento é maior, e portanto, a altura final do corpo é maior e a compressão da mola também é! As escolhas de referencial de forma que U g 0 = 0 e o fato que U e l 0 = 0 ainda são válidos. Portanto, os trabalhos ainda podem ser obtidos como

W g = - M g h

em que h = - x . Temos também que

W e l = - 1 2 k x 2

x é a compressão da mola! Maravilha! Temos então que

v 0 2 = - 2 M ( M g x + 1 2 k x 2 )

Vamos aplicar os valores e trabalhar esta expressão! belezinha?

Passo 6

Utilizando que v 0 2 = ( 7 ) 2 = 49 , e os dados do enunciado temos a seguinte equação de segunda ordem

49 = - 2 250 × 1 0 - 3 ( 250 × 1 0 - 3 ( 10 ) x - 1 2 ( 2,5 × 1 0 2 ) x 2 ) = - 20 x + 1000 x 2

O polinômio fica então como

1000 x 2 - 20 x - 49 = 0

Como encontramos o valor de x na equação acima? A resposta está lá no ensino médio! Bhaskara!! As nossas raízes são

x ± = - ( - 20 ) ± ( - 20 ) 2 - 4 ( 1000 ) ( - 49 ) 2 ( 1000 ) = 20 ± 196400 2000

Temos que 196400 ≈ 443,2 , portanto, só nos importamos com a raíz positiva, obtendo que

x + = 0,23   m

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   W g = 0,30   J   ( b )   W e l = - 1,8   J   ( c )   v 0 = 3,5   m / s ( d )   x + = 0,23   m

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