Em uma corrida, um pai tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai. Aumentando sua velocidade em 1,0   m / s , o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho. Quais são as velocidade escalares iniciais ( a ) do pai e ( b ) do filho?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos um pai e um filho apostando uma corrida. O pai tem metade da energia cinética do filho, ou seja

K 0   p a i = K 0   f i l h o / 2

Mas o filho tem metade da massa do pai, tal que

m f i l h o = m p a i / 2

O pai está mais lento, e portanto, perdendo. Para ter uma chance, ele aumenta a sua velocidade em 1,0   m / s , ou seja, agora temos que a energia cinética do pai aumenta e se torna igual a energia cinética do filho

K F   p a i = K 0   f i l h o

O enunciado então pergunta, qual era a velocidade inicial do pai e do filho? Você lembra a definição de energia cinética? Ela é da seguinte maneira

K = 1 2 m v 2

Esta definição é tudo que precisamos para resolver o nosso problema! Bora lá!

Passo 2

No início da corrida, temos que

K 0   p a i = K 0   f i l h o / 2

Usando a definição da energia cinética, temos que

1 2 m p a i v 0   p a i 2 = 1 2 [ 1 2 m f i l h o v 0   f i l h o 2 ]  

Se lembrarmos que m f i l h o = m p a i / 2 . Temos que a expressão acima toma a seguinte forma

1 2 m   p a i   v 0   p a i 2 = 1 2 [ 1 2 ( 1 2 m   p a i ) v 0   f i l h o 2 ]

Cortando a massa do pai, e algumas constantes, temos uma relação entre a velocidade do pai e do filho, como

v 0   p a i 2 = 1 4 v 0   f i l h o 2             ( 1 )

Ou seja, inicialmente, o pai era quatro vezes mais lento que o filho! Mas e aí? Existe alguma outra condição que podemos utilizar para achar exatamente quais são essas velocidades? SIM! Vamos lá!

Passo 3

Para recuperar o atraso o pai acelera e ganha 1,0   m / s de velocidade, ou seja, ele agora tem uma velocidade final da forma

v F   p a i = v 0   p a i + 1,0

O enunciado nos afirma que esta pique tomado pelo pai é o suficiente para que ele tenha a mesma energia cinética que o filho, portanto

K F   p a i = K 0   f i l h o

Utilizando novamente as definições, temos que

1 2   m p a i   v F   p a i 2 = 1 2 m f i l h o v 0   f i l h o 2

Novamente, como temos que m f i l h o = m p a i / 2 , temos que

1 2   m p a i   v F   p a i 2 = 1 2 ( 1 2 m   p a i ) v 0   f i l h o 2

Cortando as massas e algumas constantes, obtemos a segunda relação

v F   p a i 2 = 1 2   v 0   f i l h o 2

Como temos que v F   p a i = v 0   p a i + 1,0 , podemos escrever a relação acima como

( v 0   p a i + 1,0 ) 2 = 1 2   v 0   f i l h o 2             ( 2 )

Maravilha! Mas e agora? Agora nós utilizamos a relação (2) e (1) em conjunto para calcularmos quais são as nossas velocidades iniciais! Bora lá!

Passo 4

Isolando v 0   f i l h o 2   na equação (2) e substituindo na equação (1), temos

v 0   f i l h o 2 = 2 ( v 0   p a i + 1,0 ) 2

e substituindo na equação (1)

v 0   p a i 2 = 1 4 [ 2 ( v 0   p a i + 1,0 ) 2 ] = 1 2 ( v 0   p a i + 1,0 ) 2

Expandindo o quadrado, podemos obter que

v 0   p a i 2 = 1 2 ( v 0   p a i 2 + 2 v 0   p a i   + 1 )

Reescrevendo um pouco esta equação obtemos

2 v 0   p a i 2 - v 0   p a i 2 - 2 v 0   p a i   - 1 = v 0   p a i 2 - 2 v 0   p a i - 1 = 0

Mas como que isolamos v 0   p a i ? A resposta é, nós não isolamos! Esta é uma equação de segundo grau para v 0   p a i , precisamos aplicar Bhaskara e ver quais são as raízes deste polinômio! Vamos lá!

Passo 5

Aplicando Bhaskara na equação obtida no final do passo anterior, temos que as raízes possíveis do polinômio são

v 0   p a i   ±   = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 ( 1 ) = 2 ± 8 2

como temos que 8 = 2 2 , e como 2 ≈ 1,41 . Temos que

v 0   p a i   ±   = 1 ± 2

e apenas a raiz

v 0   p a i   + = 1 + 2 = ≈ 2,41   m / s

é positiva, vamos escolher essa, pois em todo momento estamos trabalhando com o módulo da velocidade inicial, e este módulo, não pode ser negativo. Maravilha! Aí está a alternativa a ) . Bora para a b ) .

Passo 6

A alternativa b ) se trata de utilizarmos o resultado que obtivemos para a velocidade do pai, e obter a velocidade do filho utilizando a equação (1) ( ou a equação (2), mas a equação (1) é mais fácil). Temos que

v 0   p a i 2 = 1 4 v 0   f i l h o 2    

Tirando a raiz, e escolhendo o valor positivo pelo mesmo motivo de estarmos lidando com o módulo das velocidades aqui, temos que

v 0   f i l h o = 2   v 0   p a i = 4,82   m / s

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   2,41   m / s   ( b )   4,82   m / s

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