Uma partícula de massa m   =   6   k g move-se apenas sob a ação de uma força conservativa F → x = x - x 3 i → , onde x é medido em metros e F em Newtons. A variação da energia cinética da partícula quando ela se move da posição x   =   2,0   m para a posição x   =   4 ,   0   m é:

(a) - 54   J .

(b) + 56   J .

(c) - 58   J .

(d) + 62   J .

(e) - 68   J .

Passo 1

FALA AÍ! Tudo bom?

Bem... O problema não nos deu um desenho maroto, então é por aqui que devemos começar... Shall we?

Temos uma partícula se movendo no plano x y sob ação de uma força que atua na direção de x ( F → x = x - x 3 i → a componente i → indica que F → é exclusivamente na direção de x )...

De acordo com a nossa Teoria, a variação do trabalho τ é igual a variação da energia cinética ∆ E que estamos buscando no problema, isto é...

∆ E = τ

Onde o trabalho de uma força F → pode ser sempre calculado pela integral de linha...

τ = ∫ C   F →   d l →

Onde C é o caminho percorrido pela partícula. d l → é o vetor tangente a essa direção.

Mas pera aí... Qual é o caminho percorrido pela partícula?

Passo 2

ORA! O problema nos disse apenas que a partícula se desloca de x = 2   m até x = 4   m , mas ele não fala nada sobre o caminho que ela faz até chegar x = 4 m .

Entretanto, todavia, contudo, não obstante... O problema também nos fala que a força F → é conservativa! Isto é, independe do caminho que ela andar!

Aí agora pensa comigo, se independendo do caminho que escolhermos, vamos encontrar o mesmo valor para o trabalho τ , podemos escolher para a solução do problema, a curva C mais simples possível... Uma reta ligando x = 2   m até x = 4   m ...

Passo 3

Essa reta é tão interessante, porque ela simplifica muito os cálculos! Veja bem, sabemos que d l → é o vetor tangente na direção que estamos andando. Quem é esse vetor tangente na reta?

ISSO MESMO! O vetor d l → é um vetor exclusivamente na direção de x (direção i → ), então o módulo dele inclusive será o mesmo que o módulo de d x ( d l → = d x ), então...

d l → = d x   i →

E isso é interessante, porque na integral de linha fazemos a integração do produto escalar...

F →   d l →

E o produto escalar de dois vetores quaisquer... a i → + b j → c i → + d j → = a c + b d , então...

F →   d l → = x - x 3 i → d x   i → = x - x 3   d x

Só que x varia de x = 2 m até x = 4   m na reta, então, podemos calcular a integral de linha agora...

τ = ∫ C   F →   d l →   →

τ = ∫ 2 4 x - x 3   d x

Passo 4

Resolvendo a integral...

τ = x 2 2 - x 4 4 2 4   →

Substituindo os limites de integração...

τ = 4 2 2 - 4 4 4 - 2 2 2 - 2 4 4     →

Simplificando...

τ = 8 - 4 3 - 2 - 4     →

τ = 8 - 64 + 2     →

τ = - 54   J

Então, a variação de energia cinética é...

∆ E = - 54   J

Resposta

Letra A

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