O momento de inércia, possui propriedades similares às do centro de massa, pois ambos são dados na forma de uma integral. Sendo assim, no cálculo do momento de inércia é possível dividir o domínio de integração em subdomínios e posteriormente somar o resultado. Por exemplo, para a figura abaixo (um urso”), basta calcular o momento de inércia de cada uma das sub-regiões numeradas de 1 a 8 em relação ao eixo z , e depois somar o resultado:

I u r s o =   ∫ u r s o ρ 2 d m = ∫ 1 ρ 2 d m ∫ 2 ρ 2 d m + … + ∫ 8 ρ 2 d m = I 1 + I 2 + … + I 8

Sabendo disto, calcule o momento de inércia da figura abaixo em relação aos eixos 1 e 2 , supondo que as barras delgadas possuem massa desprezível e que as barras grossas possuem massa m , são homogêneas e possuem secção reta circular de raio R .

Dados: momento de inércia de um cilindro homogêneo de massa m em relação ao eixo que passa pelo centro de sua secção reta de raio R e pelo seu centro de massa: I c i l =   m R 2 / 2 ; momento de inércia de uma barra homogênea de massa m e comprimento L em relação ao eixo que é perpendicular à extensão da barra e passa pelo seu centro de massa: I b a r = m L 2 / 12

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Temos um enunciado GIGANTE aqui hein? Mas, vamos tentar resumir o que ele está falando.

Basicamente, temos a seguinte estrutura:

E, precisamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo 1 e ao eixo 2 .

As 3 barras grossas (as que aparecem escurinhas na imagem) são barras cilíndricas, com raio da secção circular valendo R e massa m . O enunciado ainda nos dá duas informações sobre o momento de inércia dessas barras:

1 ) O momento de inércia de uma dessas barras cilíndricas em relação a um eixo que passa pelo centro da secção reta circular vale:

I c i l = m R 2 2

2 )   O momento de inércia de uma dessas barras cilíndricas em relação a um eixo perpendicular à extensão da barra e que cruza o seu centro de massa vale:

I b a r = m L 2 12

Agora as coisas ficaram mais claras? Massa!

A nossa estratégia é calcular separadamente o momento de inércia de cada uma das barrinhas com relação ao eixo 1 e depois com relação ao eixo 2 . Pra fazer isso é bem importante utilizarmos o teorema dos eixos paralelos, que diz:

I e i x o   A = I e i x o   B + m ⋅ d 2

onde m é a massa da estrutura que estamos calculando o momento de inércia e d é a distância entre os eixos A e B . Beleza?

A ideia é essa, então vamo lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia da estrutura com relação ao eixo 1 . Para cada uma das barras, o momento de inércia com relação ao eixo perpendicular à sua extensão e que passa pelo seu centro de massa é dado por:

I b a r = m L 2 12

Beleza, isso já tínhamos visto no passo anterior.

Para calcular os seus momentos de inércia em relação ao eixo 1 , precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Assim:

I e i x o   1 = I b a r + m d 2

onde d vai ser a distância entre o eixo perpendicular que passa pelo centro de massa da barra e o eixo 1 . Analisando a figura:

Temos que a distância para as duas barras superiores é de L . Enquanto para a barra inferior, o eixo que perpendicular à sua extensão e que passa pelo seu centro de massa já coincide com o eixo 1 .

Assim, temos:

I e i x o   1 s u p = m L 2 12 + m L 2

= 13 m L 2 12

Já para a barra inferior, vamos ter apenas:

I e i x o   1 i n f = m L 2 12

Portanto, como temos duas barras superiores e uma barra inferior, sobre o momento de inércia de toda a estrutura com relação ao eixo 1 podemos afirmar que:

I e i x o   1 = 2 ⋅ I e i x o   1 s u p + I e i x o   1 i n f

= 2 ⋅ 13 m L 2 12 + m L 2 12

Portanto:

I e i x o   1 = 27 m L 2 12

Excelente!!! Já matamos a primeira parte 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o momento de inércia da estrutura com relação ao eixo 2 . Novamente o raciocínio é bem semelhante, como vimos no passo 1 o momento de inércia de cada barrinha com relação ao eixo que passa pelo centro de sua secção reta circular vale:

I c i l = m R 2 2

Analisando a figura:

Vemos que para a barras superiores, esse eixo do centro da secção reta já coincide com o eixo 2 . Mas, para a barra inferior os eixos estão há uma distância D , assim:

I e i x o   2 i n f = m R 2 2 + m D 2

Já para as barras superiores:

I e i x o   2 s u p = m R 2 2

Logo, para a estrutura como um todo temos:

I e i x o   2 = 2 ⋅ I e i x o   2 s u p + I e i x o   2 i n f

= 2 ⋅ m R 2 2 + m R 2 2 + m D 2

Logo:

I e i x o   2 = 3 m R 2 2 + m D 2

Prontinho galera! Com isso matamos mais uma questão!

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊

Resposta

I e i x o   1 = 27 m L 2 12

I e i x o   2 = 3 m R 2 2 + m D 2

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