Suponha que n moles de um gás ideal diatômico sofre um processo termodinâmico de um estado inicial de pressão p i , volume V i e temperatura T i para um estado final de pressão p f , volume V f e temperatura T f . Ao longo deste processo termodinâmico, a pressão varia proporcionalmente ao volume. Além disso, a velocidade média quadrática v r m s = v 2 m é d 1 / 2 das moléculas dobra de valor entre os estudos inicial e final. Nestas condições, calcule.

  1. (0,5) A temperatura final T f , expressando seu resultado em termos de T i . Dado: A energia cinética de translação média das moléculas de um gás ideal e K m é d = 3 k T / 2 , onde k é a constante de Boltzmann.
  2. (i) A pressão final p f , expressando seu resultado em termos de p i e (ii) o volume final V f expressando seu resultado em termos de V i .
  3. O trabalho W realizado pelo gás entre os estados inicial e final. Expresse seu resultado em termos de p i e V i .
  4. O calor Q requerido para levar o sistema do estado inicial ao final. Expresse seu resultado em termos de p i e V i . Dado: Um gás ideal diatômico tem calor específico molar C v = 5 R / 2 , onde R é a constante universal dos gases.

Passo 1

L e t r a   A :

POW! O problema nos deu uma informação importantíssima. No finalzinho da letra A ele nos deu a informação de energia cinética:

K m é d = 3 k T 2

E energia cinética de um gás também pode ser calculada por...

K m é d = 1 2 m   v 2 m é d

Então veja que estamos com a faca e o queijo para resolver esse item. Bora?

Passo 2

Igualando essas duas expressões acima...

3 k T 2 = 1 2 m   v 2 m é d   →

T = m 3 k   v 2 m é d

Só que queremos a temperatura T f final em termos da inicial T i . Pela equação de cima a final a e a inicial, ambas tem que obedecer...

T f = m 3 k   v f 2 m é d             e               T i = m 3 k   v i 2 m é d

Sabemos do enunciado que a velocidade média quadrática v r m s dobra o valor no estágio final da transformação, isto é...

v r m s f = 2 v r m s i   →

Elevando ao quadrado...

v r m s f 2 = 4 v r m s i 2

Como v r m s = v 2 m é d 1 / 2 ou v r m s 2 = v 2 m é d ...

v f 2 m é d = 4 v i 2 m é d

Então...

T f = m 3 k   v f 2 m é d     →

T f = m 3 k   4 v i 2 m é d     →

T f = 4 ⋅ m 3 k   v i 2 m é d    

Só que essa expressão em negrito é a temperatura inicial do gás...

T f = 4 T i

Passo 3

L e t r a   B - I t e m   I

Bem... Nesse item podemos usar o fato de que o Gás é ideal então é válida a expressão...

p i V i T i = p f V f T f         →

p f V f = T f T i p i V i

Só que do item A já descobrimos que T f = 4   T i , o que nos leva a...

p f V f = 4 p i V i   →

p f = 4 p i V i V f  

O enunciado nos disse que a pressão varia proporcionalmente ao volume, isto é...

V i V f = p i p f

Então...

p f = 4 p i p i p f     →

p f 2 = 4 p i 2     →

p f = 2   p i

Passo 4

L e t r a   B - I t e m   I I

Para saber qual será o volume final em termos do inicial agora é de boa! Basta usar o fato de que...

V i V f = p i p f

Então...

V i V f = p i 2   p i   →

V i V f = 1 2     →

V f   = 2 V i

Passo 5

L e t r a   C :

POW! Queremos aqui então calcular a energia realizada pelo gás ao se expandir. Sabemos da Teoria que podemos encontrar essa energia (trabalho) calculando então a área sob o gráfico p V . Então vamos construir o gráfico dessa transformação beleza?

Bem... Para isso, sabemos da pressão inicial p i e do volume inicial v i . Sabemos também das pressões e volumes finais em relação às iniciais...

Além disso, sabemos que a pressão e o volume variam proporcionalmente entre si, isto significa que a transformação é uma reta...

Agora é só calcular o volume abaixo dessa curva:

Passo 6

Esta área é a área de um trapézio, e de acordo com o nosso cálculo amado...

A = B + b h 2

Onde B é a base maior ( B = 2 p i ) e b a base menor ( b = p i ), a altura é o tamanho 2 V i - V i , ou seja... h = V i . Como a área abaixo da curva representa a energia W da transformação...

W = 2 p i + p i V i 2   →

W = 3 p i V i 2

Essa é a energia expressa em termos de p i e V i .

Passo 7

L e t r a   D :

Nesse problema daqui, precisamos buscar a energia Q requerida no processo para levar o gás de um estado para outro final. De acordo com a primeira Lei da Termodinâmica...

Q = ∆ U + W

Onde ∆ U é a energia interna da transformação. Essa energia, para os gases ideias pode ser dada por ∆ U = n C v ∆ T . Então...

Q = n C v ∆ T + 3 p i V i 2

Como C v = 5 R / 2 ...

Q = n 5 R 2 ∆ T + 3 p i V 2     →

Porém no item A vimos que...

∆ T = T f - T i = 4 T i - T i

Então...

Q = n 5 R 2 3 T i + 3 p i V i 2     →

Só que para os gases ideais n R   T i = p i V i

Q = 15 2   n R T i + 3 p i V i 2     →

Q = 15 2   p i V i + 3 p i V i 2     →

Q = 1 8 2   p i V i     →

Q = 9   p i V i    

Então taí!

Resposta

Letra A:

T f = 4 T i

Letra B:

p f = 2 p i               e                 V f = 2 V i

Letra C:

W = 3 p i V i 2

Letra D:

Q = 9   p i V i    

Exercícios de Livros Relacionados

Em 10 de agosto de 1972, um grande meteorito atravessou a atmosfera sobre o oeste dos Estados Unidos e Canadá como uma pedra que ricocheteira na água. A bola de fogo resultante foi tão forte que pôde
10.4. Se a velocidade de uma partícula aumentar por um fator de 3, por que fator irá variar sua energia cinética?
03. Quanto vale a velocidade de um carro pequeno de 1.000k g que possui a mesma energia cinética de um caminhão de 20.000k g que trafega a 25k m / h ?
01. Qual objeto possui maior energia cinética: uma bala de 10g disparada a 500m / s ou um estudante de 75k g correndo a 5,5m / s ?
7. A massa de um átomo de oxigênio é quatro vezes maior do que a de um átomo de hélio. Em uma experiência, um átomo de hélio e outro, de oxigênio, possuem a mesma energia cinética. Qual é a razão v H