A corda da F i g .   4 , e comprimento L = 120   c m , possui uma bola presa em uma das extremidades e está fixa na outra extremidade. A distância d da extremidade fixa a um pino no ponto P é de 75,0   c m . A bola, inicialmente em repouso, é liberada com o fio na posição horizontal, como mostra a figura, e percorre a trajetória indicada pelo arco tracejado. Qual é a velocidade da bola ao atingir ( a ) o ponto mais baixo da trajetória e ( b ) o ponto mais alto depois que a corda encosta no pino?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Aqui nós temos uma bola presa à uma corda de comprimento L = 120   c m   =   120 × 1 0 - 2   m . A bola em um altura inicial, é solta e segue a trajetória tracejada indicada na figura

Temos que P indica um pino fixo, que está a uma distância d = 75,0   c m = 75 × 1 0 - 2 m da extremidade fixa da corda. Quando a corda colide com o pino, a bolinha passa a seguir uma trajetória que dista r do pino, até chegar em uma altura máxima indicada pelo fim do tracejado! O enunciado nos pede para calcular a velocidade quando a bolinha chega no ponto mais baixo, ou seja, logo antes da corda colidir com o pino, e também, a velocidade quando ela chega no ponto mais alto! Mas como fazemos isso?

O caminho mais simples que podemos seguir é utilizar a conservação da energia mecânica para encontrar a velocidade no ponto mais baixo (que escolheremos como referencial de potencial nulo) e depois relacionar esta velocidade ao restante do movimento. Vamos fazer primeiro a alternativa a ) ! Vem comigo!

Passo 2

Como não temos nenhuma força dissipativa atuando sobre o sistema, temos que a energia mecânica se conserva, ou seja, temos que

Δ E = 0

Isso nos leva a seguinte relação

Δ K = - Δ U

Então precisamos analisar os valores iniciais da energia potencial e da energia cinética. Inicialmente, temos que a bolinha está a uma altura h = L = 120 × 1 0 - 2 m . Portanto, no referencial que no ponto mais baixo a energia potencial U f = 0 , temos que

U i = m g L

Também temos inicialmente que a energia cinética é nula, K i = 0 , já que a bolinha está em repouso, no entanto, ela ganha velocidade até chegar ao ponto mais baixo, e neste instante tem energia cinética dada por

K f = 1 2 m v 2

Pela conservação de energia, temos então que

K f - K i = - ( U f - U i )

de forma que podemos escrever

1 2 m v 2 = m g L

A massa pode ser cortada, e se isolarmos a velocidade, temos que

v = 2 g L = 4,85   m / s

usando que g = 9,8   m / s e L = 120 × 1 0 - 2 m . Maravilha! Agora só precisamos achar a velocidade dela no ponto mais alto! Consegue visualizar uma maneira de fazer isso? Saca só!

Passo 3

Vamos utilizar a conservação de energia novamente, então temos que

Δ K = - Δ U

Agora, no entanto, precisamos mudar os valores das energias cinéticas e potenciais, certo? Inicialmente temos a energia cinética dada pela velocidade calculada no passo anterior, ou seja

K i = 1 2 m v 2

Mas, não podemos dizer nada sobre a energia cinética final, pois não sabemos se a partícula pára no ponto mais alto da trajetória circular, ou seja temos que

K f = 1 2 m v f 2

No entanto, sabemos que a energia potencial inicial é nula, U i = 0 , e a energia potencial está relacionada a uma altura h relacionada ao topo da trajetória circular que a bolinha realiza após a corda colidir com o pino, como no esquema a seguir

Note que h = 2 r , em que podemos obter o raio fazendo a diferença entre o comprimento da corda e a distância d , temos que

r = L - d = 120 × 1 0 - 2 m - 75 × 1 0 - 2 m

resultando em r = 45 × 1 0 - 2 m , e portanto, temos que h = 90 × 1 0 - 2 m . Ou seja, temos que a energia potencial final é

U f = m g h

Belezinha! Agora que relação obtemos da conservação de energia? Veremos no próximo passo!

Passo 4

Temos que

K f - K i = - ( U f - U i )

que pode ser simplificada para

1 2 m v f 2 - 1 2 m v 2 = - m g h

Cortando a massa que está em todos os termos, e multiplicando por 2, temos que

v f 2 - v 2 = - 2 g h

se isolarmos a velocidade final que desejamos, temos que

v f = v 2 - 2 g h = ( 4,85   m / s ) 2 - 2 ( 9,8   m / s 2 ) ( 90 × 1 0 - 2 m )

que pode ser calculado para obtermos

v f = 23,5   m 2 / s 2 - 8,8   m 2 / s 2 = 2,42   m / s

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

  ( a )   v = 4,85   m / s   ( b )   v f = 2,42   m / s

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