Exercícios Resolvidos de Introdução a Lei de Faraday

Lei de Ampère, Lei de Faraday

Uma espira retangular no plano X Z , de autoindutância desprezível, tem lados a e b e resistência R . Um fio retilíneo infinito, por onde flui uma corrente dependente do tempo I t , é colocado ao longo do eixo Z a uma distância x 0 da espira, conforme mostra a figura. Despreze as correntes de deslocamento do sistema.

a Sabendo que o campo produzido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B → = B s ϕ ^ , onde s é a distância de P ao fio e ϕ ^ é o vetor unitário que “circula” em torno do fio, encontre B s .

b Calcule o fluxo magnético através da espira, tomando y ^ como o unitário normal à superfície.

c Supondo que I t = I 0 cos ⁡ ω t , determine a força eletromotriz induzida na espira?

Passo 1

a Sabendo que o campo produzido pelo fio retilíneo em um ponto P é dado por B → = B s ϕ ^ , onde s é a distância de P ao fio e ϕ ^ é o vetor unitário que “circula” em torno do fio, encontre B s .

Vamos considerar primeiro, só um pedaço do fio de comprimento L. O campo que esse pedaço de fio produz num ponto P é dado pela lei de Biot-Savart por:

B = μ 0 i ( t ) 4 π L s s 2 + L 2 4  

Como o fio é infinito, isso significa que L ≫ s , então:

B = μ 0 i ( t ) 4 π L s L 2 4  

B = μ 0 i ( t ) 4 π L s L 2  

B = μ 0 i ( t ) 2 π s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Calcule o fluxo magnético através da espira, tomando y ^ como o unitário normal à superfície.

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Vamos analisar graficamente esse cara:

Daqui podemos tirar que:

d A → = a d x   y ^

x 0 ≤ x ≤ x 0 + b

Nessa região, o campo magnético é dado por: B → s = μ 0 I t 2 π x y ^

Portanto:

ϕ B = ∫ x 0 x 0 + b μ 0 I t a d x 2 π x

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ∫ x 0 x 0 + b d x x

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ln ⁡ x x 0 x 0 + b

Finalmente:

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ln ⁡ x 0 + b x 0

Passo 3

c Supondo que I t = I 0 cos ⁡ ω t , determine a força eletromotriz induzida na espira?

De acordo com a lei de Faraday, a f e m induzida na espira é dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

ε = - μ 0 a 2 π ln ⁡ x 0 + b x 0 ∂ I t ∂ t

Onde:

I t = I 0 cos ⁡ ω t

∂ I t ∂ t = - ω I 0 sen ⁡ ω t

Portanto:

ε = μ 0 a ω I 0 2 π sen ⁡ ω t ln ⁡ x 0 + b x 0

Resposta

a

B s = μ 0 I t 2 π s

b

ϕ B = μ 0 I t a 2 π ln ⁡ x 0 + b x 0

c

ε = μ 0 a ω I 0 2 π sen ⁡ ω t ln ⁡ x 0 + b x 0

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