Exercícios Resolvidos de Pressão Hidrostática

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Enunciado

A densidade de massa da atmosfera decresce com a altura h a partir do nível do mar. A pressão e a densidade de massa da atmosfera no nível do mar são dadas por P 0 e ρ 0 , respectivamente. Considere que a aceleração da gravidade g é constante e conhecida. Supondo que a temperatura é constante e a atmosfera pode ser considerada um gás ideal, a pressão na altura h é dada por P = P 0 e - α h , onde α é

  1. ( ρ 0 g ) ⁄ P 0  
  2. ρ 0 ⁄ ( g P 0   )
  3. ρ 0   P 0
  4. ρ 0 ⁄ g

Passo 1

Galera, vamos resolver essa questão fazendo uma análise dimensional da coisa. Ou seja, vamos analisar as unidades. Temos a fórmula:

P = P 0 e - α h

A fórmula nos fornece uma pressão P .No entanto, no lado direito da fórmula, nós também temos uma quantidade com unidades de pressão.

O que podemos tirar disso? Que, para que o resultado final tenha unidade de pressão, o termo e - α h tem que ser adimensional! Show? Podemos escrever:

P a = P a u → u = 1

Deu pra entender? Caso a unidade daquela expressão, e - α h , fosse, sei lá, dada em metros, ou segundos, etc, a unidade final do resultado não poderia ser pascal.

Passo 2

Beleza, continuando: Como o termo e - α h tem quer ser adimensional, o expoente de e também precisa ser. Logo:

- α h = 1

Agora basta a gente analisar as opções, procurando um alpha que tenha uma unidade que ao ser multiplicado por h , dado em metros, torne-se adimensional.

Ao procurarmos, vamos perceber que α = ρ 0 g P 0 é a única opção que nos fornece um resultado unitário. Porque se multiplicarmos esse α por h , teremos:

ρ 0 g P 0 . h = ρ 0 g h P 0

Só que ρ 0 g h nos fornece uma pressão, lembra? Então as unidade de cima e de baixo do quociente se cancelam, fornecendo um resultado adimensional. (:.

Resposta

a)

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