Exercícios Resolvidos de Pressão Hidrostática

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Enunciado

Um recipiente próximo a superfície terrestre onde a aceleração da gravidade é g → = - g z ^ , com g constante, e contendo um fluido de densidade ρ constante e massa m é submetido a uma força adicional, uniforme, F → = - A x ^ - B y ^ , onde A e B são constantes positivas.

Como varia a pressão no interior do fluido, considerando que o mesmo se encontra em equilíbrio?

(a) P x , y , z = P 0 - ρ A m x - x 0 + ρ B m y - y 0

(b) P x , y , z = P 0 + ρ A m x - x 0 + ρ B m y - y 0 - ρ g z - z 0

(c) P x , y , z = P 0 + ρ A m x - x 0 + ρ B m y - y 0 + ρ g z - z 0

(d) P x , y , z = P 0 + ρ A m x - x 0 - ρ B m ( y - y 0 )

(e) P x , y , z = P 0 - ρ A m x - x 0 - ρ B m y - y 0 - ρ g z - z 0

(f) P x , y , z = P 0 + ρ A m x - x 0 - ρ B m y - y 0 - ρ g z - z 0

(g) Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

Não se assuste com esse bando de termos nas alternativas!

Primeiro, sabemos que a pressão, devido ao peso, em z, é aquela famosa equação da hidrostática,

P z = P 0 + ρ g h

Só que essa altura ( h ) é em relação à superfície do líquido. Se quisermos escrever em função do fundo do recipiente ( z 0 ) , temos que inverter o sinal

P z = P 0 - ρ g ( z - z 0 )

Repare que quanto maior z , mais próximo da superfície, menor a pressão.

Então já temos 2 termos, falta achar os outros.

Passo 2

A questão diz que o líquido encontra-se em equilíbrio. Esse é o segredo da questão!

Se ele sofre uma força F → = - A x ^ - B y ^ e mesmo assim está em equilíbrio, logo obrigatoriamente o líquido tem que ter uma pressão que compense essa força.

Como os termos da força externa estão em - x ^ e - y ^ , então a pressão em x e em y tem que ser positivas para compensar.

Com isso já da pra matar a questão, pois a única alternativa em que P z é negativo e P x e P y são positivos é a (b) P x , y , z = P 0 + ρ A m x - x 0 + ρ B m y - y 0 - ρ g z - z 0 .

Mas se você quiser ver como chegar na expressão para P x e P y , veja o próximo passo!

Passo 3

Lembre-se que a pressão é

P = F S

Onde F é a força e S é a área de aplicação dessa força.

Lembrando que a massa específica ( ρ ) é

ρ = m V = m S   × h

S = m ρ h

Substituindo a área na pressão,

P = F ρ h m  

Então, em x, onde temos a força F x = - A

P x = - A ρ h x m

Fazendo a mesma substituição que fizemos no primeiro passo, h x = x 0 - x ,

P x = ρ A m ( x - x 0 )

Repetindo para y,

P y = ρ B m ( y - y 0 )

Juntando tudo,

P = P 0 + ρ A m x - x 0 + ρ B m y - y 0 - ρ g ( z - z 0 )

Resposta

(b) P x , y , z = P 0 + ρ A m x - x 0 + ρ B m y - y 0 - ρ g z - z 0

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