Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Considere as afirmativas:

(I) Existem vetores u e v   em R n tais que u = v = 1 e u , v = 2 .

(II) Quaisquer que sejam os vetores u e v em R n , u - v ≥ u - v .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Pra verificar essa afirmativa, vamos precisar relacionar o módulo de dois vetores e o produto interno entre eles.

Mas felizmente a gente tem uma fórmula que faz isso!

u , v = u v c o s θ

onde θ é o ângulo entre os vetores u e v .

Beleza, vamos substituir o que foi dito na afirmativa e ver o que acontece.

2 = 1 × 1 × c o s θ

∴ c o s θ = 2

Opa, mas isso não é possível, pois

- 1 ≤ c o s θ ≤ 1

Então essa afirmativa é falsa.

Passo 2

(II) u - v ≥ u - v

Vamos elevar os dois lados dessa expressão ao quadrado:

u - v 2 ≥ u - v 2

Expandindo o lado direito:

u - v 2 ≥ u 2 - 2 u v + v 2

Mas:

u - v 2 = u - v , u - v = u 2 - 2 u , v + v 2

Substituindo na equação:

u 2 - 2 u , v + v 2 ≥ u 2 - 2 u v + v 2

Simplificando os termos:

- 2 u , v ≥ - 2 u v

Multiplicando essa expressão por - 1 2 :

u , v ≤ u v

O que é verdadeiro, pois:

u , v = u v c o s θ

E como discutimos antes:

- 1 ≤ c o s θ ≤ 1

Resposta

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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