Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Sejam u → e v → vetores.

a) Prove que u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2 ( u → 2 + v → 2 ) .

Sabendo que 2 u → + 3 v → = 61 , 2 u → - 3 v → = 21 e v → = 5 3

b1) Calcule | u → | .

b2) Calcule u → . v → .

Passo 1

a) Escrever u → + v → 2 é a mesma coisa que

u → + v → . u → + v → = u → 2 + 2 u → v → + | v → | ²

Assim como u → - v → 2 equivale a

u → - v → . u → - v → = u → 2 - 2 u → v → + | v → | ²

Somando essas duas expressões, a gente vai ter

u → + v → 2 + u → - v → 2 = u → 2 + 2 u → v → + v → 2 + u → 2 - 2 u → v → + | v → | ²

u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2 u → 2 + 2 v → 2

u → + v → 2 + u → - v → 2 = 2 ( u → 2 + v → 2 )

Passo 2

b1) Vamos usar a identidade que a gente provou no item a, assim olha

2 u → + 3 v → 2 + 2 u → - 3 v → 2 = 2 ( 2 u → 2 + 3 v → 2 )

61 + 21 = 2 ( 4 u → 2 + 9 5 3 2 )

u → 2 = 82 - 50 8 = 4

u → = 2

Passo 3

b2) Agora vamos usar uma das relações que a gente apresentou no item a:

2 u → + 3 v → 2 = 2 u → 2 + 2.2 u → . 3 v → + 3 v → 2

61 = 4.4 + 12 . u → . v → + 9 5 3 2

u → . v → = 61 - 16 - 25 12

u → . v → = 5 3

Resposta

a) Demonstração.

b1) u → = 2

b2) u → . v → = 5 3

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