Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Sejam u → e v → vetores de R n . Considere as afirmativas abaixo:

I - Se u → + v → = u → - v → , então u → , v → = 0

I I - Se u → , v → = 0 , então u → + v → = u → + v →

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são falsas

(c ) Ambas são verdadeiras

(d) I   é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Vamos ver a afirmativa I :

Sabemos que o módulo de um vetor é a raíz do produto interno dele com ele mesmo:

u → + v → = u → + v → , u → + v →

u → - v → = u → - v → , u → - v →

Igualando esses dois:

u → + v → , u → + v → = u → - v → , u → - v →

u → + v → , u → + v → = u → - v → , u → - v →

Passo 2

Vamos usar a linearidade do produto interno para resolver isso!

u → + v → , u → + v → = u → - v → , u → - v →

u → , u → + 2 u → , v → + v → , v → = u → , u → - 2 u → , v → + v → , v →

2 u → , v → = - 2 u → , v →

Para isso ser verdade é preciso que u → , v → seja igual a zero, como diz a primeira afirmativa.

Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Vamos para a I I :

Vamos desenvolver u → + v → = u → + v → da mesma forma:

u → + v → , u → + v → = u → , u → + v → , v →

Botando os dois lados ao quadrado:

u → + v → , u → + v → = u → , u → + 2 u → , u → v → , v → + v → , v →

u → , u → + 2 u → , v → + v → , v → = u → , u → + 2 u → , u → v → , v → + v → , v →

Como ele fala que u → , v → = 0 :

u → , u → + v → , v → = u → , u → + 2 u → , u → v → , v → + v → , v →

Opa, não deu igual! Logo essa afirmativa é falsa

Resposta

a

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