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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Sejam u → um vetor de comprimento 2 e v → um vetor de comprimento 3 que formam um ângulo de 3 π 4 radianos. Calcule o produto interno

2 u → - v → ⋅ ( u → - 2 v → )

Passo 1

Bom, vamos começar desenvolvendo esse produto interno, antes de qualquer coisa!

P = 2 u → - v → ⋅ ( u → - 2 v → )

P = 2 u → ⋅ u → - 4 u → ⋅ v → - v → ⋅ u → + 2 v → ⋅ v →

Tem duas propriedades que vão ajudar a gente a matar essa questão:

u → ⋅ u → = u 2

u → ⋅ v → = v → ⋅ u →

Ou seja, o produto interno de um vetor por ele mesmo é o quadrado do seu módulo, e o produto interno de dois vetores é comutativo!

Daí, vamos desenvolver mais a expressão:

P = 2 u → 2 - 5 u → ⋅ v → + 2 v 2

Passo 2

Agora vamos calcular esses termos.

u → 2 = 2 2 = 4

v → 2 = 3 2 = 9

u → ⋅ v → = 2 3 cos ⁡ 3 π 4 = - 3 2

Passo 3

Calculados esses valores, a gente só precisa substituir lá em cima!

P = 2 4 - 5 - 3 2 + 2 9

P = 26 + 15 2

Resposta

P = 26 + 15 2

Exercícios de Livros Relacionados

Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x
Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt
Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 .
Considere em R 3 o produto internox , y , z , x ' , y ' , z