Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFPE, Geometria Analítica, 1º EE - 2019.1, Questão 1

Sejam u um vetor de comprimento 2 e v um vetor de comprimento 3 que formam um ângulo de 3 π 4 radianos. Calcule o produto interno

2 u - v ( u - 2 v )

Passo 1

Bom, vamos começar desenvolvendo esse produto interno, antes de qualquer coisa!

P = 2 u - v ( u - 2 v )

P = 2 u u - 4 u v - v u + 2 v v

Tem duas propriedades que vão ajudar a gente a matar essa questão:

u u = u 2

u v = v u

Ou seja, o produto interno de um vetor por ele mesmo é o quadrado do seu módulo, e o produto interno de dois vetores é comutativo!

Daí, vamos desenvolver mais a expressão:

P = 2 u 2 - 5 u v + 2 v 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular esses termos.

u 2 = 2 2 = 4

v 2 = 3 2 = 9

u v = 2 3 cos 3 π 4 = - 3 2

Passo 3

Calculados esses valores, a gente só precisa substituir lá em cima!

P = 2 4 - 5 - 3 2 + 2 9

P = 26 + 15 2

Resposta

P = 26 + 15 2

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