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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

c Mostre que se T é positiva definida e u , v ∈ R n são vetores não nulos tais que u ,   T v = 0 , então { u , v } é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de { u , v } ser linearmente independente).

Passo 1

Vamos equacionar a nossa tese:

a u + b v = 0

Queremos achar que a = b = 0 . Para isso, vamos aplicar o produto interno dos dois lados com o vetor T ( v ) .

a u + b v ,   T v = 0 , T v ⇒

a u , T v + b v ,   T v = 0 ⇒

a u , T v + b v ,   T v = 0

Mas por hipótese sabemos que u ,   T v = 0 . Aplicando isso:

b v ,   T v = 0

Mas como T é positiva definida sabemos que v ,   T v > 0 , logo o único jeito do produto acima dar zero é com b = 0 .

Passo 2

-

Sabendo que b = 0 , vamos voltar para nossa primeira equação.

a u + b v = 0

Aplicando que b = 0 :

a u = 0

Mas como sabemos que u é não nulo, o único jeito de esse produto dar zero é com a = 0 . E se a = 0 e b = 0 então { u , v } é L I .

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