Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

Ver Teoria

Enunciado

Seja V o conjunto das combinações lineares dos vetores 1 ,   0 ,   3 e 0 ,   2 ,   3 que são ortogonais ao vetor 5 ,   4 ,   3 .

  1. V não é um subespaço vetorial de R 3 .
  2. V é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 1 .
  3. V é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 0 .
  4. V é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 2 .

Passo 1

Belezinha galerinha bonita, se V é o conjunto de combinações lineares dos vetores 1 ,   0 ,   3 e 0 ,   2 ,   3 , quer dizer que podemos escrever esse espaço como:

V = a 1 ,   0 ,   3 + b 0 ,   2 ,   3

Onde a e b são constantes quaisquer pertencentes aos reais, a ,   b ∈ R . Logo, podemos escrever o espaço V como:

V = a ,   2 b ,   3 a + 3 b

Passo 2

Iradoso, agora que a gente sabe a cara de V , podemos usar a segunda informação que o enunciado nos deu, ele diz que o espaço V é ortogonal ao vetor 5 ,   4 ,   3 . Para um vetor ser ortogonal a outro, o produto interno entre eles deve ser igual a 0 , isto é:

V ,   5 ,   4 ,   3 = 0

Ou melhor:

a ,   2 b ,   3 a + 3 b ,   5 ,   4 ,   3 = 0

Resolvendo esse produto interno, vamos obter o seguinte:

a ,   2 b ,   3 a + 3 b ,   5 ,   4 ,   3 = 5 a + 4 2 b + 3 3 a + 3 b

a ,   2 b ,   3 a + 3 b ,   5 ,   4 ,   3 = 5 a + 8 b + 9 a + 9 b

a ,   2 b ,   3 a + 3 b ,   5 ,   4 ,   3 = 14 a + 17 b

Show de bolinhas, e como esse produto deve ser igual a 0 , temos que:

14 a + 17 b = 0

14 a = - 17 b

a = - 17 14 b

Passo 3

Belezera, a gente acabou de ver que nossas constantes a   e b que moldam o espaço:

V = a ,   2 b ,   3 a + 3 b

São relacionadas como:

a = - 17 14 b

Tal que nosso espaço V pode ser reescrito como:

V = - 17 1 4 b ,   2 b ,   3 - 17 14 b + 3 b

V = - 17 14 b ,   2 b , - 17 14 b

E se a gente colocar b em evidência, vamos ver que:

V = - 17 14 ,   2 ,   - 9 14 b

Ou seja, nosso espaço V é dado como:

V = - 17 14 ,   2 ,   - 9 1 4

Portanto, temos apenas 1 vetor com 3 coordenadas na base de V , isso quer dizer que V   é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 1 . Resposta certa, letra (b).

Resposta

Letra (b)

Exercícios de Livros Relacionados

Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo qu
Seja β = { 1,2 , ( 2,1 ) } . Use o processo de Gram-Schmidt para achar
Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1
Considere em R 3 o produto interno < x , y , z , x ' , y ' , z ' &g