Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Considere vetores u → e v → tais que u → = 4 e v → = 2 e A n g u → , v → = 60 ° . Se x → = u → + v → , y → = 1 2 u → + v → , α = A n g ( u → , y → ) e β = A n g u → , x → , determine c o s α e c o s β e represente todos esses vetores e ângulos em uma figura.

Passo 1

Gente, ângulo lembra o que em geometria analítica? Só pode ser produto escalar!

c o s α = u → ⋅ y → u → y →

Precisamos achar o produto escalar do numerador.

u → ⋅ y → = u → 1 2 u → + v → = 1 2 u → ⋅ u → + u → ⋅ v →

u → ⋅ y → = 1 2 u → 2 + u → ⋅ v → c o s 60 °

u → ⋅ y → = 1 2 4 2 + 4 2 1 2

u → ⋅ y → = 12

E também o valor do módulo de y → !

y → 2 = y → ⋅ y → = 1 2 u → + v → 1 2 u → + v → = 1 4 u → ⋅ u → + u → ⋅ v → + v → ⋅ v →

y → 2 = 1 4 u → 2 + u → ⋅ v → c o s 60 ° + v → 2

y → 2 = 1 4 4 2 + 4 2 1 2 + 2 2

y → = 12

Daí,

c o s α = 12 4 12 = 3 2

α = 30 °

Passo 2

Para o ângulo β vamos fazer igualzinho!

c o s β = u → ⋅ x → u → x →

Primeiro achamos o produto escalar do numerador.

u → ⋅ x → = u → u → + v → = u → ⋅ u → + u → ⋅ v →

u → ⋅ x → = u → 2 + u → ⋅ v → c o s 60 °

u → ⋅ x → = 4 2 + 4 2 1 2

u → ⋅ x → = 2 0

E depois o valor do módulo de x → !

x → 2 = x → ⋅ x → = u → + v → u → + v → = u → ⋅ u → + 2 u → ⋅ v → + v → ⋅ v →

x → 2 = u → 2 + 2 u → ⋅ v → c o s 60 ° + v → 2

x → 2 = 4 2 + 2 4 2 1 2 + 2 2

y → = 28

E então,

c o s β = 20 4 28 = 5 7 14

Passo 3

Agora só falta a gente representar esses vetores!

Resposta

c o s α = 3 2

c o s β = 5 7 14

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