Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Seja A = a 1 → … a n → ∈ R m × n uma matriz real com colunas   a 1 → … a n → .

(I) Se B = A T A , então a i-ésima entrada da j-ésima coluna de B é b i j = a i → , a j → .

(II) A x → , y → = A T y → , x → para todo x → ,   y → .

(a) (I) e (II) são verdadeiras.

(b) (I) e (II) são falsas.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Vamos fazer esse produto A T A que tá falando na afirmação.

Lembrando que a matriz transposta de A, A T , é simplesmente a gente pegar as colunas de A e colocar como se fossem linhas.

Como a matriz A dada tem vetores nas colunas, o produto fica o seguinte:

B = A T A

B = ← a 1 → ⋮ ← a n → a 1 → … a n →

E aí lembra da regrinha pra fazer multiplicação de matrizes!!

A gente pega cada linha da primeira matriz, multiplica as respectivas entradas pela coluna correspondente da segunda matriz, e soma todo mundo!

E isso de multiplicar entradas e somar todo mundo lembra aquela história de produto interno né?

Porque:

u 1 , … , u n , ( v 1 , … , v n ) = u 1 v 1 + … + u n v n

Então o que a gente tem é:

B = a 1 , a 1 …   a 1 , a n ⋮ ⋱ ⋮ a n , a 1 … a n , a n

Em outras palavras, o elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna é:

b i j = a i → , a j →

Por isso a afirmação (I) é verdadeira!

Passo 2

(II) Pra ficar mais fácil de analisar esse item, vamos dar valores às coisas.

Vamos pegar a matriz:

A = 1 2 3 4 5 6

E os vetores:

x → = 1,0 , 0

y → = ( 0,1 )

Primeiro vamos calcular:

A x → , y →

Mas antes vamos ver quem é esse cara A x → .

A x → = 1 2 3 4 5 6 1 0 0 = 1 4

Beleza, agora vamos fazer o produto interno desse resultado com o vetor y →   que a gente escolheu.

A x → , y → = 1 4 , 0 1

A x → , y → = 1 × 0 + 4 × 1 = 4

Agora vamos guardar esse resultado e ver o outro lado da igualdade que a questão deu pra gente, que é:

A T y → , x →

Vamos calcular A T y → :

A T y → = 1 2 3 4 5 6 0 1 = 4 5 6

Agora vamos fazer o produto interno com x → :

A T y → , x → = 4 5 6 , 1 0 0 = 4

E repara que deu o mesmo resultado!

Como a gente fez isso pra uma matriz A aleatória e vetores x e y quaisquer, então vamos dizer que a afirmação (II) é verdadeira também.

Resposta

(a) (I) e (II) são verdadeiras.

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