Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Se os vetores u → + 5 v → e u → - 5 v →   são ortogonais, então pode-se afirmar que:

  1. u → e v → sã ortogonais.
  2. u → + v → e u → - v → são ortogonais.
  3. u → = 5 v → .
  4. u → = v →

Passo 1

Show belejóias galerinha, o enunciado deu pra gente que os vetores u → + 5 v → e u → - 5 v →   são ortogonais. E quando dois vetores são ortogonais, quer dizer que o produto interno entre eles é igual a 0 :

u → + 5 v → . u → - 5 v → = 0

Então bora ser malandrão e abrir esse produto interno pra ver a cara feia dele.

Passo 2

Belezoca, se a gente abrir aquele produto interno podemos distribuir os elementos em cada vetor, primeiro para u → + 5 v → , desse jeito:

u → + 5 v → . u → - 5 v → = u → . u → - 5 v → + 5 v → . u → - 5 v → = 0

E agora a gente pode distribuir do mesmo jeito para o vetor u → - 5 v → , logo:

u → . u → - 5 v → + 5 v → . u → - 5 v → = u → . u → + 5 v → . u → + u → . - 5 v → + 5 v → . - 5 v →

u → . u → - 5 v → + 5 v → . u → - 5 v → = u → . u → + 5 v → . u → - u → . 5 v → - 5 v → . 5 v →

Então tirando os termos que se anulam, temos que:

u → + 5 v → . u → - 5 v → = u → . u → - 5 v → . 5 v →

u → . u → - 5 v → . 5 v → = 0

u → . u → = 5 v → . 5 v →

Passo 3

Calma lá galerinha, porque a gente acabou de descobrir que:

u → . u → = 5 v → . 5 v →

Só que o interessante dessa relação, é que podemos lembrar que para calcular o módulo de um vetor qualquer w → , fazemos:

w → = w → ,   w →

Logo:

w → 2 = w → ,   w →

Isso quer dizer que na nossa relação, temos que:

u → 2 = u → ,   u →

5 v → 2 = 5 v → . 5 v →

Então:

u → . u → = 5 v → . 5 v →

u → 2 = 5 v → 2

E cortando a raíz quadrada dos dois lados, descobrimos que:

u → = 5 v →

u → = 5 v →

Resposta certa, letra (c).

Resposta

Letra (c)

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