Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Seja u → ,   v → ,   w → ,   r → um conjunto de vetores dois a dois ortogonais:

  1. u → + v → é ortogonal a w → + r →
  2. u → - v → é ortogonal a w → - r →
  1. I é verdadeira e II é falsa.
  2. Ambas são falsas.
  3. I é falsa e II é verdadeira.
  4. Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Xuxu beleza galerinha, sabemos que o conjunto de vetores u → ,   v → ,   w → ,   r → é ortogonal dois a dois, ou seja, o produto interno entre os vetores é igual a 0 :

u → ,   v → = 0 ,     u → ,   w → = 0 ,     u → ,   r → = 0 ,     v → ,   w → = 0 ,     v → ,   r → = 0 ,     w → ,   r → = 0

Então para a afirmativa (I), queremos saber se u → + v → é ortogonal a w → + r → , isto é, se o produto ortogonal desses vetores também é igual a 0 :

u → + v → ,   w → + r → = 0

E o segredo aqui é que a gente pode distribuir esse produto, saca só, primeiro para u → + v → :

u → + v → ,   w → + r → = u → ,   w → + r → + v → ,   w → + r →

E agora distribuindo w → + r → , temos:

u → ,   w → + r → + v → ,   w → + r → = u → ,   w → + u → ,   r → + v → ,   w → + v → ,   r →

Só que a gente viu, que esses produtos internos, dois a dois, resultam em 0 , portanto:

u → + v → ,   w → + r → = u → ,   w → + u → ,   r → + v → ,   w → + v → ,   r →

u → + v → ,   w → + r → = 0 + 0 + 0 + 0

u → + v → ,   w → + r → = 0

E dessa forma os vetores u → + v →   e   w → + r → são ortogonais. Afirmativa (I), verdadeira.

Passo 2

Belezoca, agora queremos saber se u → - v → é ortogonal a w → - r → , é bem parecido a afirmativa (I), a não ser que agora temos o sinal de " - " entre os vetores.

Isso quer dizer que a gente pode repetir o mesmo processo pra testar a ortogonalidade entre os vetores. Saca só, o produto interno entre eles deve ser igual a 0 :

u → - v → ,   w → - r → = 0

E aqui a gente pode distribuir esse produto, saca só, primeiro para u → - v → :

u → - v → ,   w → - r → = u → ,   w → - r → - v → ,   w → - r →

E agora distribuindo w → - r → , temos:

u → ,   w → - r → - v → ,   w → - r → = u → ,   w → - u → ,   r → - v → ,   w → + v → ,   r →

Só que a gente viu, que esses produtos internos, dois a dois, resultam em 0 , portanto:

u → - v → ,   w → - r → = u → ,   w → - u → ,   r → - v → ,   w → + v → ,   r →

u → - v → ,   w → - r → = 0 - 0 - 0 + 0

u → - v → ,   w → - r → = 0

Logo, nossas duas afirmativas estão corretas, e a alternativa certa é a letra (d).

Resposta

Letra (d).

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