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Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

d   Seja R : R 2 ⟶ R 2 a rotação de π 4 no sentido trigonométrico em torno da origem. Mostre que R é positiva definida, mas não é diagonalizável.

Passo 1

-

Se queremos provar que R é positiva definida, temos que verificar que:

v ,   R v > 0

Desenvolvendo o lado esquerdo, podemos escrever o produto interno de dois vetores como:

v ,   R v = v ⋅ R v ⋅ c o s θ

Como sabemos que o vetor R ( v ) é o vetor rotacionado por π 4 , então θ = π 4 .

v ,   R v = v ⋅ R v ⋅ 2 2

Se os vetores são não nulos, o módulo deles não é zero e assim o produto v ⋅ R v ⋅ 2 2 é sempre positivo e v ,   R v > 0 , portanto R é positiva definida.

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