Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n ⟶ R n é positiva definida se, para todo vetor v ∈ R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

d   Seja R : R 2 ⟶ R 2 a rotação de π 4 no sentido trigonométrico em torno da origem. Mostre que R é positiva definida, mas não é diagonalizável.

Passo 1

-

Se queremos provar que R é positiva definida, temos que verificar que:

v ,   R v > 0

Desenvolvendo o lado esquerdo, podemos escrever o produto interno de dois vetores como:

v ,   R v = v ⋅ R v ⋅ c o s θ

Como sabemos que o vetor R ( v ) é o vetor rotacionado por π 4 , então θ = π 4 .

v ,   R v = v ⋅ R v ⋅ 2 2

Se os vetores são não nulos, o módulo deles não é zero e assim o produto v ⋅ R v ⋅ 2 2 é sempre positivo e v ,   R v > 0 , portanto R é positiva definida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em relação ao produto interno do Exemplo de 8.3.2 calcule x de modo que o ângulo entre 1 - 1 2 1 e 1 - 1 2 x tenha uma medida de 90 ° .
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Seja V = R 3 e S = { 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , ( 2,1 , 1 ) } .Encontre S ⊥ .Encontre uma base ortogonal para S e S ⊥ .Se S fosse [ 1,0 , 1 , 1,1 , 0 , 2,1 , 1 ] , qual seria S ⊥ ? Neste caso, encontre uma b