Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P3 - 2015.1, Questão 3d

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n R n é positiva definida se, para todo vetor v R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

d   Seja R : R 2 R 2 a rotação de π 4 no sentido trigonométrico em torno da origem. Mostre que R é positiva definida, mas não é diagonalizável.

Passo 1

-

Se queremos provar que R é positiva definida, temos que verificar que:

v ,   R v > 0

Desenvolvendo o lado esquerdo, podemos escrever o produto interno de dois vetores como:

v ,   R v = v R v c o s θ

Como sabemos que o vetor R ( v ) é o vetor rotacionado por π 4 , então θ = π 4 .

v ,   R v = v R v 2 2

Se os vetores são não nulos, o módulo deles não é zero e assim o produto v R v 2 2 é sempre positivo e v ,   R v > 0 , portanto R é positiva definida.

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