Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

a) Mostre que em todo espaço vetorial V com < , > , se α = { v 1 , v 2 , v 3 } é uma base ortonormal de V ,   então ∀ w ∈ V temos

w 2 = < w , v 1 > 2 + < w , v 2 > 2 + < w , v 3 > 2

Passo 1

O vetor w vai ser um vetor qualquer de V , logo pode ser escrito como uma C L   dos vetores da base:

w = a v 1 + b v 2 + c v 3

Agora vamos calcular a norma dele ao quadrado e tentar achar isso aí do enunciado!

w 2 = < w , w >

Passo 2

Bom, agora vamos analisar o que temos:

w = a v 1 + b v 2 + c v 3

w 2 = < w , w >

Vou substituir:

w 2 = < a v 1 + b v 2 + c v 3 , a v 1 + b v 2 + c v 3 >

Pela linearidade, posso separar esse produto interno:

w 2 = a 2 < v 1 , v 1 > + 2 a b < v 1 , v 2 > + 2 a c < v 1 , v 3 > + b 2 < v 2 , v 2 > + 2 b c < v 2 , v 3 > + c 2 < v 3 , v 3 >

Como é ortonormal, o produto interno dos vetores com eles mesmos vai ser 1 e entre si vai ser 0:

w 2 = a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Beleza, agora temos que provar que w 2 = a 2 + b 2 + c 2 é o mesmo que w 2 = < w , v 1 > 2 + < w , v 2 > 2 + < w , v 3 > 2 .

Vamos ver como seria < w , v 1 > 2 :

< w , v 1 > 2 = < a v 1 + b v 2 + c v 3 , v 1 > 2

< a v 1 + b v 2 + c v 3 , v 1 >   = a < v 1 , v 1 > + b < v 2 , v 1 > + c < v 3 , v 1 >

< a v 1 + b v 2 + c v 3 , v 1 > = a

Logo, < w , v 1 > 2 = a 2 .

Usando o mesmo raciocínio, podemos provar que < w , v 2 > 2 = b 2 e < w , v 3 > 2 = c 2 . Juntando tudo, provamos que realmente:

w 2 = < w , v 1 > 2 + < w , v 2 > 2 + < w , v 3 > 2 = a 2 + b 2 + c 2

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