a) Mostre que em todo espaço vetorial com , se é uma base ortonormal de então temos
Passo 1
O vetor vai ser um vetor qualquer de , logo pode ser escrito como uma dos vetores da base:
Agora vamos calcular a norma dele ao quadrado e tentar achar isso aí do enunciado!
Passo 2
Bom, agora vamos analisar o que temos:
Vou substituir:
Pela linearidade, posso separar esse produto interno:
Como é ortonormal, o produto interno dos vetores com eles mesmos vai ser 1 e entre si vai ser 0:
Passo 3
Beleza, agora temos que provar que é o mesmo que .
Vamos ver como seria :
Logo,
Usando o mesmo raciocínio, podemos provar que e . Juntando tudo, provamos que realmente:
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