Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:

a   u ⊥ v implica u + v 2 = u 2 + v 2

b   u + v ⊥ u - v implica u = v

Passo 1

a Primeiro vamos tirar o problema de norma e trazer pra produto interno, Sabemos que:

v 2 = v , v

Logo temos que provar que

u + v , u + v = u , u + v , v

Desenvolvendo o lado esquerdo usando a linearidade do produto interno:

u + v , u + v = u , u + u , v + v , u + v , v

Como u ⊥ v , então u , v = v , u = 0 , logo a equação acima se reduz a:

u + v , u + v = u , u + v , v

E está provado.

Passo 2

-

b Como v 2 = v , v , temos que:

u = v ⇔ u , u = v , v ⇔ u , u = v , v

E como u + v ⊥ u - v ,

u + v , u - v = 0

Portanto, precisamos provar que:

u + v , u - v = 0 ⇒ u , u = v , v

Desenvolvendo o lado esquerdo da implicação e usando da linearidade do produto interno:

u + v , u - v = u , u + v , u - u , v - v , v = 0

Além disso, pela simetria do produto interno u , v = 〈 v , u 〉 , a igualdade se reduz à:

u , u - v , v = 0 ⇒ u , u = v , v

E está provado ;)

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