Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Sejam v 1 , v 2 , … , v n vetores ortogonais dois a dois, isto é, v i v j = 0 se i ≠ j . Prove que

v 1 + … + v n 2 = v 1 2 + … + v n 2

Passo 1

-

Primeiro vamos reescrever essa equação de um jeito mais conveniente para nós. Sabemos que:

v = v , v

Logo,

v 1 + … + v n , v 1 + … + v n = v 1 , v 1 + … + 〈 v n , v n 〉

Pela linearidade do produto interno, temos que o lado esquerdo da equação fica:

v 1 + … + v n , v 1 + … + v n = v 1 , v 1 + … + v n + … + v n , v 1 + … + v n

E, usando novamente a linearidade e o fato dos vetores serem ortogonais, temos:

v i , v 1 + … + v n = v i , v 1 ⏟ 0 + … ⏟ 0 + v i , v i + … ⏟ 0 + v i , v n ⏟ 0 = 〈 v i , v i 〉

Portanto,

v 1 , v 1 + … + v n + … + v n , v 1 + … + v n = v 1 , v 1 + … + 〈 v n , v n 〉

como queríamos demonstrar.

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