Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Seja u 1 , … , u k ⊂ R n um conjunto ortogonal e u = a 1 u 1 + … + a k u k . Mostre que

a j = u , u j u j 2

Conclua que se { u 1 , … , u k } é um conjunto ortonormal, então a j = 〈 u , u j 〉 para j = 1 , … k .

Passo 1

Primeiro de tudo, vamos entender o que o enunciado pede. O enunciado pede para mostrar que qualquer COEFICIENTE de um vetor do conjunto, ou seja, um a j ∈ R para j = 1 , … , k , pode ser escrito na forma indicada.

O u j simboliza qualquer vetor do conjunto.

Passo 2

Agora que já entendemos o que significa o enunciado, vamos começar a provar. Lembre-se que existe um vetor u j qualquer ai dentro, que não sabemos em que lugar se encontra. Então vamos pegar:

u = a 1 u 1 + … + a j u j + … + a k u k

E aplicar o produto interno dos dois lados, com esse vetor qualquer do conjunto u j :

u , u j = a 1 u 1 + … + a j u j + … + a k u k , u j

Pelas propriedades do produto interno podemos separar o lado direito da equação acima em:

u , u j = a 1 u 1 , u j + … + a j u j , u j + … + a k u k , u j ⇒

u , u j = a 1 u 1 , u j + … + a j u j , u j + … + a k u k , u j

Passo 3

Ahhh, então como o conjunto é ORTOGONAL, ou seja, todos os vetores são ortogonais entre si, podemos zerar tudo! Opa, calma aí! Quase todos são ortogonais.

Lembre-se que você está fazendo o produto interno com um dos vetores do próprio conjunto! Como u j não é ortogonal com u j , afinal são o mesmo vetor, o produto interno deles dá diferente zero. E mais! Ele é u j , u j = u j 2 . Assim nossa expressão se resume à:

u , u j = a 1 u 1 , u j ⏟ 0 + … ⏟ 0 + a j u j , u j + … ⏟ 0 + a k u k , u j ⏟ 0 ⇒

u , u j = a j u j , u j ⇒

u , u j = a j u j 2 ⇒

a j = u , u j u j 2

Passo 4

Agora só falta ver o que acontece se o conjunto for ortonormal. Ahh então vamos ter que provar tudo de novo? Não seria necessário; a única diferença é que além dos vetores serem ortogonais, agora eles também são unitários, ou seja, têm norma igual a 1 .

Logo, u j = 1 ∴ u j 2 = 1 . E assim:

a j = u , u j 1 ⇒

a j = 〈 u , u j 〉

Passo 5

-

Uma observação importante. O que exatamente acabamos de provar? Significa que se temos uma base ortogonal para R n , por exemplo, podemos escrever qualquer vetor como C L dos vetores da base SÓ QUE com os coeficientes:

a j = u , u j u j 2

Assim, podemos escrever u como:

u = u , u 1 u 1 2 u 1 + … + u , u k u k 2 u k

Essa relação vale sempre para bases ortogonais! Se for ortonormal, só botar o módulo igual a 1. XD

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