Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

PUCRIO-P3-2015.1-3c

No espaço vetorial R n , dizemos que uma transformação linear T : R n R n é positiva definida se, para todo vetor v R n não nulo, tem-se v ,   T v > 0 .

Mostre que se T é positiva definida e u , v R n são vetores não nulos tais que u ,   T v = 0 , então { u , v } é linearmente independente. (Dica: Escreva as hipóteses e tente verificar a definição de { u , v } ser linearmente independente).

Passo 1

Para que u e v sejam linearmente independentes, precisamos que a igualdade

a u + b v = 0

seja satisfeita apenas se a = b = 0 . Para isso, vamos aplicar o produto interno dos dois lados com o vetor T ( v ) .

a u + b v ,   T v = 0 , T v

a u , T v + b v ,   T v = 0

a u , T v + b v ,   T v = 0

Mas, por hipótese sabemos que u ,   T v = 0 . Aplicando isso:

b v ,   T v = 0

Mas como T é positiva definida sabemos que v ,   T v > 0 , logo o único jeito do produto acima dar zero é com b = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Sabendo que b = 0 , vamos voltar para nossa primeira equação.

a u + b v = 0

Aplicando que b = 0 :

a u = 0

Mas como sabemos que u é não nulo, o único jeito desse produto dar zero é com a = 0 . E se a = 0 e b = 0 então { u , v } é L I .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas