Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

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Enunciado

Considere o espaço vetorial R 3 munido de um produto interno < . , . > com respeito ao qual:

( 1 ,   0 ,   1 ) 2 = ( 0 ,   1 ,   1 ) 2 = ( 0 ,   1 ,   0 ) 2 = 1

1 ,   0 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   1 ) = 1 ,   0 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) = 0 ,   1 ,   1 ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) = 0

Temos que 1 ,   2 ,   3 ,   ( 1 ,   2 ,   3 ) é igual a:

a) 6

b) 35

c) 14

d) 1

e) 5

Passo 1

Vamos lá. O enunciado nos deu algumas normas de vetores desse espaço e mostrou que todos eles são ortogonais entre si, através do produto interno entre eles.

Queremos agora o produto interno 1 ,   2 ,   3 ,   ( 1 ,   2 ,   3 ) , mass, não sabemos como se calcula o produto interno nesse espaço, só sabemos alguns resultados não é?

Então o que vamos fazer vai ser escrever o vetor ( 1 ,   2 ,   3 ) como combinação linear dos vetores dados no enunciado, assim:

1 ,   2 ,   3 = 1 ,   0 ,   1 + 0 ,   1 ,   1 + ( 0 ,   1 ,   1 )

Certinho? Agora é só usar as propriedades de produto interno pra calcular

1 ,   0 ,   1 + 2 ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   1 ,   0 ,   1 + 2 ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 2

Ok, temos:

1 ,   0 ,   1 + 2 ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   1 ,   0 ,   1 + 2 ( 0 ,   1 ,   1 )

Pela linearidade do produto interno, vamos escrever isso assim:

1 ,   0 ,   1 , 1 ,   0 ,   1 + 1 ,   0 ,   1 , 2 0 ,   1 ,   1 + 2 0 ,   1 ,   1 , 1 ,   0 ,   1 + 2 0 ,   1 ,   1 , 2 0 ,   1 ,   1

Tirando as constantes pra fora do produto interno (por propriedade também hehe):

1 ,   0 ,   1 , 1 ,   0 ,   1 + 2 1 ,   0 ,   1 , 0 ,   1 ,   1 + 2 0 ,   1 ,   1 , 1 ,   0 ,   1 + 4 0 ,   1 ,   1 , 0 ,   1 ,   1

Boa, agora é só substituir pelo que foi dado no enunciado, olha:

1 ,   0 ,   1 + 2 ( 0 ,   1 ,   1 ) ,   1 ,   0 ,   1 + 2 ( 0 ,   1 ,   1 ) = 1 + 2.0 + 2.0 + 4.1

1 ,   2 ,   3 ,   ( 1 ,   2 ,   3 ) = 5

Aeeee, acabou!! Então nossa alternativa correta é a letra E! ;)

Resposta

e) 5

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