Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFPE, Geometria Analítica, 1º EE - 2018.2, Questão 3

Considere vetores u e v tais que u = 4 e v = 2 e A n g u , v = 60 ° . Se x = u + v , y = 1 2 u + v , α = A n g ( u , y ) e β = A n g u , x , determine c o s α e c o s β e represente todos esses vetores e ângulos em uma figura.

Passo 1

Gente, ângulo lembra o que em geometria analítica? Só pode ser produto escalar!

c o s α = u y u y

Precisamos achar o produto escalar do numerador.

u y = u 1 2 u + v = 1 2 u u + u v

u y = 1 2 u 2 + u v c o s 60 °

u y = 1 2 4 2 + 4 2 1 2

u y = 12

E também o valor do módulo de y !

y 2 = y y = 1 2 u + v 1 2 u + v = 1 4 u u + u v + v v

y 2 = 1 4 u 2 + u v c o s 60 ° + v 2

y 2 = 1 4 4 2 + 4 2 1 2 + 2 2

y = 12

Daí,

c o s α = 12 4 12 = 3 2

α = 30 °

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o ângulo β vamos fazer igualzinho!

c o s β = u x u x

Primeiro achamos o produto escalar do numerador.

u x = u u + v = u u + u v

u x = u 2 + u v c o s 60 °

u x = 4 2 + 4 2 1 2

u x = 2 0

E depois o valor do módulo de x !

x 2 = x x = u + v u + v = u u + 2 u v + v v

x 2 = u 2 + 2 u v c o s 60 ° + v 2

x 2 = 4 2 + 2 4 2 1 2 + 2 2

y = 28

E então,

c o s β = 20 4 28 = 5 7 14

Passo 3

Agora só falta a gente representar esses vetores!

Resposta

c o s α = 3 2

c o s β = 5 7 14

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