Exercícios Resolvidos de Propriedades do Produto Interno

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2017.2, Questão 13

Seja u , v , w , r um conjunto ortonormal:

I - u - v + w - r = 0

I I - u - v - w - r = 2

(a) I é falsa e I I é verdadeira

(b) Ambas são falsas

(c) Ambas dão verdadeiras

(d) I é verdadeira e I I é falsa

Passo 1

Vamos usar a definição de norma de um vetor:

u - v + w - r = u - v + w - r , u - v + w - r

u - v + w - r 2 = u - v + w - r , u - v + w - r

Vamos usar a linearidade do produto interno:

u - v + w - r , u - v + w - r = u , u - 2 u , v + 2 u , w - 2 u , r + v , v - 2 v , w + 2 v , r + w , w - 2 w , r + r , r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, sabemos que o conjunto é ortonormal, ou seja, o produto interno dos vetores com eles mesmos vai ser 1 e entre eles vai ser 0, assim, substituindo:

u - v + w - r , u - v + w - r = 1 - 0 + 0 - 0 + 1 - 0 + 0 + 1 - 0 + 1 = 4

u - v + w - r 2 = 4

u - v + w - r = 2

Logo, a primeira afirmativa é falsa! Vamos fazer o mesmo para a segunda.

Passo 3

u - v - w - r = u - v - w - r , u - v - w - r

u - v - w - r , u - v - w - r = u , u - 2 u , v - 2 u , w - 2 u , r + v , v + 2 v , w + 2 v , r + w , w + 2 w , r + r , r

u - v - w - r , u - v - w - r = 1 - 0 - 0 - 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 = 4

u - v - w - r = 2

Logo essa afirmativa é verdadeira!!

Resposta

a

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